[论文解读] Representations of factorizable Hopf algebras

Sebastian Burciu|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 41被引用 1

一句话总结

本文利用 Majid 的扭变理论，推导出拟三角 Hopf 代数表示范畴中 Müger 中心理子的显式公式，提供了两种不同的表述形式——一种基于扭变，另一种基于 Cohen 与 Westreich 的共轭类。主要贡献在于证明了在可分解 Hopf 代数中，一个正规融合子范畴的中心理子本身也是正规的，从而解决了 [mathz] 中提出的问题，并建立了维度为 $dq^n$ 的可分解 Hopf 代数的结构定理，其中 $d$ 为奇数且无平方因子，$q$ 为奇素数。

ABSTRACT

Using the transmutation theory developed by Majid in \cite{majid}, in this paper we give an explicit formula for the M\uger centralizer in the category of representations of a quasitriangular Hopf algebra. A second formula for the M\uger centralizer is also given in terms of the conjugacy classes introduced by Cohen and Westreich in \cite{CW1}. This allows us to answer positively a question from \cite{mathz}. More precisely we show that in the case of a factorizable Hopf algebra the centralizer of a normal fusion subcategory is also a normal fusion subcategory. As an application we give a structure theorem for factorizable Hopf algebras of dimension $dq^{n}$ where $d$ is an odd square-free integer and $q$ an odd prime number.

研究动机与目标

• 为解决 [mathz] 中关于可分解 Hopf 代数中 Müger 中心理子的正规性问题。
• 利用扭变理论，为拟三角 Hopf 代数表示范畴中的 Müger 中心理子提供显式公式。
• 基于 Cohen 与 Westreich 框架中的共轭类，重新表述中心理子以进行结构分析。
• 为维度为 $dq^n$ 的可分解 Hopf 代数建立结构定理，其中 $d$ 为奇数且无平方因子，$q$ 为奇素数。
• 证明在可分解 Hopf 代数中，一个正规融合子范畴的中心理子本身也是正规的，从而证实一个猜想。

提出的方法

• 利用 Majid 的扭变理论，在拟三角 Hopf 代数的对偶上构造一个辫子 Hopf 代数结构。
• 利用扭变结构与辫子特征理论，推导出 Müger 中心理子的显式公式。
• 基于 Cohen 与 Westreich 框架中的共轭类，提出第二个中心理子公式。
• 将两个中心理子公式应用于分析可分解 Hopf 代数中融合子范畴的结构。
• 利用两个公式的等价性，证明一个正规融合子范畴的中心理子本身也是正规的。
• 将结构结果应用于分类维度为 $dq^n$ 的可分解 Hopf 代数，其中 $d$ 为奇数且无平方因子，$q$ 为奇素数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在可分解 Hopf 代数中，一个正规融合子范畴的 Müger 中心理子本身是否也是正规的？
• RQ2 是否可以在拟三角 Hopf 代数表示范畴中推导出 Müger 中心理子的显式公式？
• RQ3 Cohen 与 Westreich 的共轭类在可分解 Hopf 代数的背景下如何与 Müger 中心理子相关联？
• RQ4 对于维度为 $dq^n$ 的可分解 Hopf 代数，其中 $d$ 为奇数且无平方因子，$q$ 为奇素数，会引出哪些结构约束？
• RQ5 扭变理论是否可用于统一辫子张量范畴中 Müger 中心理子的不同表述形式？

主要发现

• 证明了在可分解 Hopf 代数中，一个正规融合子范畴的 Müger 中心理子本身也是正规的，从而证实了 [mathz] 中的一个猜想。
• 利用 Majid 的扭变理论，在拟三角 Hopf 代数表示范畴中推导出了 Müger 中心理子的显式公式。
• 基于 Cohen 与 Westreich 框架中的共轭类，建立了第二个独立的 Müger 中心理子公式。
• 证明了中心理子的两个公式是等价的，从而能够对融合子范畴的结构进行分析。
• 为维度为 $dq^n$ 的可分解 Hopf 代数建立了结构定理，其中 $d$ 为奇数且无平方因子，$q$ 为奇素数。
• 结果表明，中心理子构造在可分解 Hopf 代数中保持了正规性，从而扩展了辫子融合范畴的理论。