[论文解读] Cubical Assemblies and Independence of the Propositional Resizing Axiom.

Taichi Uemura|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过立方体装配构造了一个具有可交换性和非预判性宇宙的立方体类型理论模型，证明了在该模型中命题重排公理不成立。结果表明，命题重排公理在这一立方体类型理论框架中与其他公理独立。

ABSTRACT

We construct a model of cubical type theory with a univalent and impredicative universe in a category of cubical assemblies. We show that the cubical assembly model does not satisfy the propositional resizing axiom.

研究动机与目标

• 在立方体装配范畴中构造一个具有可交换性和非预判性宇宙的立方体类型理论模型。
• 研究该模型中命题重排公理的逻辑地位。
• 确定在具有立方体结构的可交换性、非预判性类型理论背景下，命题重排是否成立或不成立。

提出的方法

• 形式化一个立方体装配范畴，用作类型理论的模型。
• 为该模型配备一个可交换性和非预判性宇宙，以捕捉高阶构造。
• 利用立方体装配的内部逻辑来解释类型理论构造，包括依赖积和等式类型。
• 通过分析命题的大小，确立命题重排公理在该模型中不成立。
• 利用立方体集和可实现性的结构来验证可交换性和非预判性。
• 通过证明该模型满足除命题重排外的所有公理，确立独立性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有可交换性和非预判性宇宙的立方体类型理论模型中，命题重排公理是否成立？
• RQ2 能否在立方体装配范畴中构造一个支持可交换性和非预判性的立方体类型理论模型？
• RQ3 命题重排公理是否独立于该立方体类型理论框架中的其他公理？
• RQ4 立方体装配的哪些结构性特征阻止了命题重排的有效性？
• RQ5 立方体装配的特性如何影响类型论中命题的大小和层级？

主要发现

• 立方体装配模型支持一个可交换性和非预判性宇宙，验证了其作为高阶类型理论模型的有效性。
• 该模型不满足命题重排公理，证明了其在该设定下的不成立。
• 该结果表明，命题重排在立方体类型理论中无法从可交换性和非预判性推导得出。
• 通过具体的模型论构造，确立了命题重排的独立性。
• 命题重排的失败源于立方体装配框架固有的大小约束。
• 该构造提供了一个新的语义模型，其中可交换性和非预判性共存而不蕴含命题重排。