[论文解读] Cubical Syntax for Reflection-Free Extensional Equality

Jonathan Sterling, Carlo Angiuli+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Logic, programming, and type systems参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文提出 XTT，一种无需反射的可 cubical 类型理论，实现了扩展性相等，通过一种新颖的 cubical 语法支持函数扩展性与身份证明的判断唯一性。通过借鉴 Coquand 和 Shulman 的范畴化粘合，该理论建立代数正规化，证明每个闭合布尔项在判断上等于真或假。

ABSTRACT

We contribute XTT, a cubical reconstruction of Observational Type Theory which extends Martin-Löf's intensional type theory with a dependent equality type that enjoys function extensionality and a judgmental version of the unicity of identity types principle (UIP): any two elements of the same equality type are judgmentally equal. Moreover, we conjecture that the typing relation can be decided in a practical way. In this paper, we establish an algebraic canonicity theorem using a novel cubical extension (independently proposed by Awodey) of the logical families or categorical gluing argument inspired by Coquand and Shulman: every closed element of boolean type is derivably equal to either 'true' or 'false'.

研究动机与目标

• 开发一种具有扩展性相等的类型理论，避免相等反射的不可判定性。
• 提供一种实用的、可判定的类型系统，支持函数扩展性与身份证明的唯一性。
• 通过 cubical 版本的范畴化粘合，为布尔类型建立正规化。
• 在支持计算充分性与语义不变性的 cubical 框架中重构观测类型理论。

提出的方法

• 将 XTT 构造为观测类型理论的 cubical 扩展，以判断唯一性原则替代相等反射。
• 使用基于路径类型与纤维化的 cubical 语法，内化相等性，同时保持正规化。
• 应用一种新颖的 cubical 版本范畴化粘合论证，受 Coquand 与 Shulman 启发，以证明代数正规化。
• 以尊重边界分离与类型情况的方式，为所有类型构造器（依赖函数、配对、路径、类型族）定义实现实体。
• 利用 cpo 取值模型的内部语言，确保闭合布尔项约化为真或假。
• 证明语法模型 C⋆ 满足所有必需的类型理论原则，包括唯一性、协变性与类型情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖相等反射的前提下，在类型理论中内化扩展性相等，同时保持可判定性与正规化？
• RQ2 如何利用 cubical 类型理论在无反射的前提下实现函数扩展性与身份证明的唯一性？
• RQ3 能否将范畴化粘合论证适配到 cubical 类型理论中，以证明布尔类型的代数正规化？
• RQ4 是否可以构建一个支持所有标准类型构造器并满足所需计算与语义性质的 XTT 模型？
• RQ5 cubical 语法是否允许为类型关系建立实用的判定过程？

主要发现

• 本文证明 XTT 中每个布尔类型闭合项在判断上等于真或假，确立了代数正规化。
• XTT 在无相等反射的前提下支持函数扩展性与身份证明的判断唯一性（UIP）。
• XTT 的类型关系被推测为可判定，表明其具有实际可实现性。
• 语法模型 C⋆ 满足所有必需的类型理论原则，包括依赖函数类型、依赖对、路径类型与类型族。
• 该模型被证明是 XTT-代数的同态，确认其正确性与一致性。
• 在模型中保持了边界分离与类型情况，确保其在类型级与项级构造下的稳健性。