[论文解读] Cuspidal representations in the l-adic cohomology of the Rapoport-Zink space for GSp(4)

Tetsushi Ito, Yoichi Mieda|arXiv (Cornell University)|May 31, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文通过一种纯粹局部的、层论的方法，利用形式邻近周期与特殊纤维上的 $J(\mathbb{Q}_p)$-等变结构，证明了 GSp(4) 的 $\breve{\imath}$-adic 谱系的上同调在上同调度 $i \neq 2,3,4$ 时不含准尖形式子商。该结果为 GSp(4) 的局部 Langlands 对应提供了关键约束。

ABSTRACT

In this paper, we study the l-adic cohomology of the Rapoport-Zink tower for GSp(4). We prove that the smooth representation of GSp_4(Q_p) obtained as the i-th compactly supported l-adic cohomology of the Rapoport-Zink tower has no quasi-cuspidal subquotient unless i=2,3,4. Our proof is purely local and does not require global automorphic methods.

研究动机与目标

• 确定 GSp(4) 的 Rapoport-Zink 谱系的 $\ell$-adic 上同调中哪些上同调度包含准尖形式表示。
• 建立在 $H^i_{\mathrm{RZ}}$ 上的 GSp_4(Q_p) 的光滑表示中，当 $i \neq 2,3,4$ 时不存在准尖形式子商。
• 发展一种完全局部的方法，避免使用全局自守技术，依赖于形式模型特殊纤维上的层论构造。
• 通过形式邻近周期的变体，为特殊纤维上的局部上同调复形赋予 $J(\mathbb{Q}_p)$-作用，从而控制表示论结构。

提出的方法

• 将 GSp(4) 的 Rapoport-Zink 谱系构造为具有 GSp_4(Z/p^mZ) 作用的伽罗瓦作用的紧致化射影空间塔，并取紧支 $\ell$-adic 上同调的归纳极限。
• 在约化特殊纤维 $(\breve{\mathscr{M}}_m)_{\mathrm{red}}$ 上定义以直和项 $I \subset (\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z})^4$ 索引的层复形 $\mathcal{F}_{m,I}$，以替代沿子簇的局部上同调。
• 利用 Rapoport-Zink 的 $p$-进统一化定理，将特殊纤维的几何与谱系的上同调联系起来。
• 引入 [Mie10b] 中形式邻近周期的变体，即使 $J(\mathbb{Q}_p)$ 不作用于统一化的 Shimura 簇，也赋予 $\mathcal{F}_{m,I}$ 的上同调以 $J(\mathbb{Q}_p)$-作用。
• 应用有限生成的 pro-$p$ 群的性质，确保 $J(\mathbb{Q}_p)$-作用在上同调上是光滑的。
• 利用上同调对应与 $R\Gamma_c(i_*j_*j^!R\psi)$ 的函子性，比较具有相同一般纤维的不同对应所诱导的态射。

实验结果

研究问题

• RQ1 GSp(4) 的 Rapoport-Zink 谱系的 $\ell$-adic 上同调中，哪些上同调度 $i$ 支持 GSp_4(Q_p)-表示的准尖形式子商？
• RQ2 能否在不使用全局自守输入的情况下，仅通过局部方法证明 $H^i_{\mathrm{RZ}}$ 中不存在准尖形式子商？
• RQ3 尽管缺乏全局作用，如何在 Rapoport-Zink 空间特殊纤维的上同调上有效实现 $J(\mathbb{Q}_p)$-作用？
• RQ4 在 Lubin-Tate 情形中使用的邻近周期复形的局部上同调的替代构造，在特殊纤维上应如何通过层论实现？
• RQ5 特殊纤维中的上同调对应在多大程度上控制了上同调的表示论结构？

主要发现

• 光滑表示 $H^i_{\mathrm{RZ}} \otimes_{\mathbb{Q}_\ell} \overline{\mathbb{Q}}_\ell$ 的 $\mathrm{GSp}_4(\mathbb{Q}_p)$ 在 $i = 2,3,4$ 以外无准尖形式子商，由主定理（定理 3.2）确立。
• 当 $i < 0$ 或 $i > 6$ 时，上同调 $H^i_{\mathrm{RZ}}$ 为零，因为对所有 $m \geq 0$，Rapoport-Zink 空间 $\breve{\mathscr{M}}^\mathrm{rig}_m$ 的维数为 3。
• 该证明完全为局部方法，不依赖于全局自守形式或迹公式，与以往方法形成鲜明区别。
• 在特殊纤维上构造的层复形 $\mathcal{F}_{m,I}$ 允许替代沿子簇的局部上同调，即使谱系非仿射亦成立。
• $J(\mathbb{Q}_p)$-作用通过形式邻近周期的变体实现，其光滑性由有限生成的 pro-$p$ 群的性质保证。
• 上同调对应在 $R\Gamma_c(i_*j_*j^!R\psi)$ 上诱导出函子性且与复合相容的态射，从而可比较不同几何实现。