[论文解读] The global structure of moduli spaces of polarized p-divisible groups

Eva Viehmann|ArXiv.org|Mar 28, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 16

一句话总结

本文确定了在特征 $p > 2$ 的代数闭域上极化 $p$-除子群模空间的全局几何结构。通过有理 Dieudonné 模和保持 Frobenius 结构的辛自同构群 $J$ 的作用，本文证明模空间 $Π_{βεδ}$ 是等维的，显式计算了其维数，并表明其连通分支集合同构于 $π(Γλ}_{h}(Γπ_p)/Γλ_{h}(Γπ_p)π × π$，同时证明了 $J$ 在不可约分支上的作用是传递的。

ABSTRACT

We study the global structure of moduli spaces of quasi-isogenies of polarized p-divisible groups introduced by Rapoport and Zink. Using the corresponding results for non-polarized p-divisible groups from a previous paper, we determine their dimensions and their sets of connected components and of irreducible components.

研究动机与目标

• 确定极化 $p$-除子群模空间在 $\mathrm{Spec}(W(k))$ 上的全局几何结构。
• 对任意 $p$-除子群，计算约化模空间 $\mathcal{M}_{βεδ}$ 的维数。
• 以 $p$-进一般线性群和 $\mathbb{Z}$ 的形式描述 $\mathcal{M}_{βεδ}$ 的连通分支集合。
• 证明群 $J$ 在 $\mathcal{M}_{βεδ}$ 的不可约分支集合上的作用是传递的。
• 通过有理 Dieudonné 模和辛结构，将非极化情形的结果推广至极化情形。

提出的方法

• 使用 $p$-除子群 $\mathbb{X}$ 的有理 Dieudonné 模 $(N, F)$ 作为基础不变量，其上配备由极化诱导的完美交错配对。
• 定义群 $J = \{g \in G(L) \mid g \circ F = F \circ g\}$ 为 $L = \mathrm{Quot}(W)$ 上一般辛群 $G$ 中 $F$ 的中心化子。
• 通过其在 $N$ 中自对偶格上的作用分析 $J$ 在模空间 $\mathcal{M}_{βεδ}$ 上的作用，重点关注稳定子群和连通分支。
• 构造一个 $J$-等变满射 $\pi: \mathcal{M}_{βεδ} \to \pi_0(\mathcal{M}_{βεδ})$，并证明 $\pi$ 的核包含 $J \cap K$、$J \cap M$ 和 $J \cap U$，从而推出 $J$ 在分支上的作用是传递的。
• 通过将 $N$ 分解为斜率 $\lambda_j = m_j/(m_j + n_j)$ 的简单等曲率晶格（满足 $\gcd(m_j, n_j) = 1$），并应用公式 $\sum \frac{(m_j - 1)(n_j - 1)}{2} + \sum_{j < j'} m_j n_{j'} + m$ 推导维数公式，其中 $m = \left\lfloor \frac{1}{2} \sum \min\{m_j, n_j\} \right\rfloor$。
• 等维性与连通分支结构的证明依赖于显式构造自对偶格族（例如通过 $\mathbb{A}^1$ 中的仿射直线），连接具有不同不变量的格，表明它们位于同一连通分支中。

实验结果

研究问题

• RQ1 约化模空间 $\mathcal{M}_{βεδ}$ 的维数是多少？
• RQ2 $\mathcal{M}_{βεδ}$ 的连通分支如何参数化？
• RQ3 群 $J$ 在 $\mathcal{M}_{βεδ}$ 的不可约分支集合上的作用是否是传递的？
• RQ4 在 $N$ 的等曲率晶格分解下，$\mathcal{M}_{βεδ}$ 的不可约分支集合具有何种结构？
• RQ5 $\mathcal{M}_{βεδ}$ 的全局几何结构如何与有理 Dieudonné 模及其辛结构相关联？

主要发现

• 模空间 $\mathcal{M}_{βεδ}$ 是等维的，其维数为 $\frac{1}{2}\left(\sum_j \frac{(m_j - 1)(n_j - 1)}{2} + \sum_{j < j'} m_j n_{j'} + m\right)$，其中 $m = \left\lfloor \frac{1}{2} \sum_j \min\{m_j, n_j\} \right\rfloor$。
• $\pi_0(\mathcal{M}_{\text{red}})$ 的连通分支集合同构于 $\left(\mathrm{GL}_{h}(\mathbb{Q}_p)/\mathrm{GL}_{h}(\mathbb{Z}_p)\right) \times \mathbb{Z}$，其中 $h = \mathrm{ht}(\mathbb{X}_{\text{m}})$ 是 $\mathbb{X}$ 的乘法部分的高度。
• $J$ 在 $\mathcal{M}_{\text{red}}$ 的不可约分支集合上的作用是传递的，意味着所有不可约分支在 $J$ 作用下等价。
• $\mathcal{M}_{\text{red}}$ 的等维性由 $J$ 在不可约分支上的传递作用推出，且通过维数公式独立验证。
• 证明表明 $J \cap K$、$J \cap M$ 和 $J \cap U$ 均位于 $\mathcal{M}_{\text{red}}$ 的同一连通分支中，因此 $J$-不变映射 $\pi: \mathcal{M}_{\text{red}} \to \pi_0(\mathcal{M}_{\text{red}})$ 诱导出同构 $\pi_1(G) \cong \pi_0(\mathcal{M}_{\text{red}})$。
• 通过在 $\mathbb{A}^1$ 中构造一个自对偶格的连通族，表明具有不同行列式赋值（例如 0 和 1）的格位于同一连通分支中，从而确认包含单位元的分支是连通的。