[論文レビュー] D-branes and K-theory in 2D topological field theory

Gregory W. Moore, Graeme Segal|ArXiv.org|Sep 5, 2006

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 49被引用数 95

ひとこと要約

本稿は、半単純な閉弦代数を備えた2次元トポロジカル場理論において、D-braneが、縫い合わせ制約—原始的ワールドーシート局所性—によって、時空上の（G-ねじれ付き）ベクトル bundle として分類されることを確立している。これはD-braneとK理論の間の基礎的リンクを提供する。結果はG-可換理論へ拡張され、D-braneがB-ねじれ付きG-ベクトル bundle に対応することが示され、境界条件のカテゴリは、G-ラインバンドルをテンソル積でかけることまで、オルビフォールド理論のカテゴリと同値である。

ABSTRACT

This expository paper describes sewing conditions in two-dimensional open/closed topological field theory. We include a description of the G-equivariant case, where G is a finite group. We determine the category of boundary conditions in the case that the closed string algebra is semisimple. In this case we find that sewing constraints -- the most primitive form of worldsheet locality -- already imply that D-branes are (G-twisted) vector bundles on spacetime. We comment on extensions to cochain-valued theories and various applications. Finally, we give uniform proofs of all relevant sewing theorems using Morse theory.

研究の動機と目的

• 縫い合わせ整合性条件を用いて、2次元トポロジカル場理論におけるD-braneの数学的分類を明確化すること。
• 半単純な2次元TFTという最も単純な設定において、D-braneとK理論の直接的なリンクを確立すること。
• D-braneの分類をG-可換トポロジカル場理論へ一般化し、オルビフォールドD-brane物理学に関連するものとする。
• 半単純理論における境界条件のカテゴリが、時空上の有限次元ベクトルバンドルのカテゴリと同値であることを示すこと。
• Morse理論を用いて一様な証明を与えることで、開弦および閉弦振幅の取り扱いを統一する。

提案手法

• 世界線局所性の基本的制約としての縫い合わせ条件を用い、境界条件の構造を導出すること。
• Morse理論を応用し、Morse関数の臨界点を基本的コボルディズムとして扱うことで、すべての縫い合わせ定理に対する一様で幾何的証明を提供すること。
• 群作用と世界線上のG-バンドルを組み込んだ状況に合わせて、Frobenius代数の技術を可換的ケースへ適応すること。
• ホロノミー情報と群作用（ρg）を用いて、開弦のベクトル空間間の写像を構成し、双対基底とトレース写像を用いること。
• B場とG不変のドライヴン場を導入してG-可換TFTを記述し、閉弦代数が時空データを符号化することを示すこと。
• A∞-カテゴリー形式主義を用いて、半単純でない場合への一般化を図り、非半単純拡張の自然な枠組みとしてコチェーン複体値理論を示唆すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半単純な閉弦代数を備えた2次元トポロジカル場理論において、許容されるD-braneの完全な集合は何か？
• RQ2 縫い合わせ制約—ワールドーシート局所性—は、どのようにD-braneカテゴリを時空上のベクトルバンドルと同値にするのか？
• RQ3 可換的トポロジカル場理論におけるD-brane分類において、G作用の役割は何か？
• RQ4 B場がG-可換TFTにおけるD-brane分類に与える影響は何か？
• RQ5 2次元TFTにおける境界条件のカテゴリは、閉弦代数から再構成可能か？ もしそうなら、どのような条件下で可能か？

主な発見

• 半単純な2次元TFTにおいて、D-braneのカテゴリは、時空上の有限次元複素ベクトルバンドルのカテゴリと同値であり、固定されたラインバンドルをテンソル積でかけることまで定義される。
• 最大のD-braneカテゴリの選択は、有限時空Xの各点xにおけるドライヴン場θxの平方根の選択に相当する。
• G-可換の場合、D-braneはX上のB-ねじれ付きG-ベクトルバンドルとして分類され、G-ラインバンドルをテンソル積でかけることまで不変である。
• G-可換理論におけるD-braneのカテゴリは、対応するオルビフォールド理論のカテゴリと同値であるが、オルビフォールド極限では完全な可換構造が失われる。
• 理論の整合性に不可欠な縫い合わせ定理は、Morse理論を用いて一様に証明され、Morse関数の臨界点が基本的コボルディズムを符号化する。
• 結果は、D-braneのK理論的分類が、異常キャンセレーションの結果ではなく、より根本的にワールドーシート局所性と縫い合わせ制約から生じることを示唆する。