[論文レビュー] Topological conformal field theories and Calabi-Yau categories

Kevin J. Costello|ArXiv.org|Dec 7, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用数 24

ひとこと要約

本論文は、カルラビ・ヤウ $A_{\infty}$ 圏にトポロジカルな conformal field theory (TCFT) を関連させることにより、すべての genus における B モデルトポロジカル弦理論の厳密な代数的構成を確立した。開 TCFT とカルラビ・ヤウ $A_{\infty}$ 圏との間には一対一対応が存在し、その結果、開-閉 TCFT が構成可能である。この閉部分理論は、Gromov-Witten 型不変量を生じる。特定のホモロジー的仮定のもとでは、これはコンパクトなシンプレクティック多様体の Fukaya 圏から標準的な Gromov-Witten 不変量を回復する。

ABSTRACT

This is the first of two papers which construct a purely algebraic counterpart to the theory of Gromov-Witten invariants (at all genera). These Gromov-Witten type invariants depend on a Calabi-Yau A-infinity category, which plays the role of the target in ordinary Gromov-Witten theory. When we use an appropriate A-infinity version of the derived category of coherent sheaves on a Calabi-Yau variety, this constructs the B model at all genera. When the Fukaya category of a compact symplectic manifold X is used, it is shown, under certain assumptions, that the usual Gromov-Witten invariants are recovered. The assumptions are that a good theory of open-closed Gromov-Witten invariants exists for X, and that the natural map from the Hochschild homology of the Fukaya category of X to the ordinary homology of X is an isomorphism.

研究の動機と目的

• トポロジカル弦理論における高 genus B モデルを、以前は形式的な数学的定式化がなかったにもかかわらず、完全に代数的かつ厳密に構成すること。
• 開 TCFT とカルラビ・ヤウ $A_{\infty}$ 圏との間の対応関係を確立し、トポロジカル弦理論のカテゴリカルな枠組みを提供すること。
• カルラビ・ヤウ $A_{\infty}$ 圏から構成された開-閉 TCFT の閉部分理論が、Gromov-Witten 不変量に類似した不変量を生じることを示すこと。
• 特定のホモロジー的条件下で、コンパクトなシンプレクティック多様体の Fukaya 圏を入力とした場合に、TCFT の構成が標準的な Gromov-Witten 不変量を回復することを証明すること。
• A と B モデルの鏡像双対性を、$A_{\infty}$ 圏と TCFT を用いたカテゴリカルな枠組みを通じて統一すること。

提案手法

• リーマン面のモジュライ空間からチェーン複体への関手として、開および閉 TCFT をホモトピー代数と導来圏を用いて定義する。
• 開 TCFT から普遍的な開-閉 TCFT を構成するためのホモトピー Kan 拡張を用い、接合公理と整合性を保証する。
• モジュライ空間の双対リボングラフ分解を用いて、境界および穴を持つリーマン面のモジュライ空間のホモロジーをモデル化する。
• 開-閉 TCFT の閉状態の空間を、基になる $A_{\infty}$ 圏のホッホシュィルトホモロジーとして定義し、代数的不変量と物理的観測量を結びつける。
• チェーン複体の対称モノイダル圏における導来テンソル積および導来押し出しを用いて、関手性およびトポロジカルな接合と整合性を保証する。
• 有限正則セル複体上の局所系統を用いたセルホモロジーを用いて、Eilenberg-Steenrod公理を満たすホモロジー理論を定義し、物理的状態空間をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高 genus B モデルトポロジカル弦理論は、代数的手法を用いて厳密に構成可能か？
• RQ2 開 TCFT とカルラビ・ヤウ $A_{\infty}$ 圏との間にはカテゴリカルな対応関係が存在するか？
• RQ3 カルラビ・ヤウ $A_{\infty}$ 圏から構成された開-閉 TCFT の閉部分理論は、コンパクトなシンプレクティック多様体の Gromov-Witten 不変量を再現できるか？
• RQ4 コンパクトなシンプレクティック多様体の Fukaya 圏に付随する TCFT が、標準的な Gromov-Witten 不変量を回復するためのホモロジー的条件は何か？
• RQ5 A_{\infty} 圏のホッホシュィルトホモロジーは、開-閉 TCFT の閉部分理論の状態空間とどのように関係するか？

主な発見

• 開 TCFT はカルラビ・ヤウ $A_{\infty}$ 圏と同値であり、開トポロジカル弦理論の明確な代数的特徴付けを確立した。
• 開 TCFT に付随する普遍的開-閉 TCFT の閉部分理論の状態空間は、基になる $A_{\infty}$ 圏のホッホシュィルトホモロジーと同型である。
• 入力がコンパクトなシンプレクティック多様体 $X$ の Fukaya 圏であり、かつ開-閉 Gromov-Witten 理論が存在し、ホッホシュィルトホモロジーから通常のホモロジーへの写像が同型であると仮定すれば、得られる TCFT は標準的な Gromov-Witten 不変量を回復する。
• 本構成は、B モデルがすべての genus において初めて厳密な数学的定式化を得たことを示し、ミラー対称性およびトポロジカル弦理論における長年の空白を解消した。
• モジュライ空間の双対リボングラフ分解の使用により、TCFT 構成においてモジュライ空間のホモロジカル構造が正しく捉えられている。
• カルラビ・ヤウ多様体上の coherent sheaf の導来圏をカルラビ・ヤウ $A_{\infty}$ 圏とみなした場合、この TCFT 構成により、すべての genus における B モデルが得られる。