[논문 리뷰] The Mukai pairing, I: the Hochschild structure

Andrei Căldăraru|arXiv (Cornell University)|2003. 08. 08.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 17인용 수 73

한 줄 요약

이 논문은 매끄럽고 컴act한 복소다양체, 궤도, 딜라인-멈포 스택에 대해 호크시ลด 호모로지 위에 일반화된 무카이 쌍선을 도입하며, 그 함수성, 카른 특성과의 호환성, 수반성 등을 확립한다. 이는 호크시ลด 호모로지가 무카이 유형의 구조에 자연스러운 대상임을 보이며, K3 표면의 고전적 결과를 일반화하고 미러 대칭 및 궤도 코homology 이론의 기초를 마련한다.

ABSTRACT

We study the Hochschild structure of a smooth space or orbifold, emphasizing the importance of a pairing defined on Hochschild homology which generalizes a similar pairing introduced by Mukai on the cohomology of a K3 surface. We discuss those properties of the structure which can be derived without appealing to the Hochschild-Kostant-Rosenberg isomorphism and Kontsevich formality, namely: -- functoriality of homology, commutation of push-forward with the Chern character, and adjointness with respect to the generalized pairing; -- formal Hirzebruch-Riemann-Roch and the Cardy condition from physics; -- invariance of the full Hochschild structure under Fourier-Mukai transforms. Connections with homotopy theory and TQFT's are discussed in an appendix. A separate paper treats consequences of the HKR isomorphism. Applications of these results to the study of a mirror symmetric analogue of Chen-Ruan's orbifold product will be presented in a future paper.

연구 동기 및 목표

• K3 표면에서의 무카이 쌍선과 코homological 구조를 궤도, 딜라인-멈포 스택 포함한 매끄럽고 컴팩트한 공간의 광범위한 클래스로 일반화하는 것.
• 유도 범주 프레임워크에서 특이 코homology를 대체하여 호크시ลด 호모로지가 일반화된 무카이 구조에 대한 자연스러운 대상임을 확립하는 것.
• 정수 변환에 의해 유도된 호모로지 사상의 함수성을 증명하여 카테고리적 합성과의 일致성을 확보하는 것.
• 수반 함자와 세르 dualit에 기반해 K-이론에서 호크시ลด 호모로지로의 카른 특성 사상 정의 및 특성화하는 것.
• 미러 대칭과 궤도 코homology에 대한 미래의 응용을 위한 기초 틀을 마련하는 것—특히 채른-룬 곱의 유사체계를 통해.

제안 방법

• 그로텐디크-세르 듀얼리티를 사용하여 호크시ลด 코호몰로지 $HH^*(X)$ 를 $\operatorname{Hom}_{{\mathbf{D}}_{\mathrm{coh}}^{b}(X\times X)}(\mathcal{O}_\Delta, \mathcal{O}_\Delta[i])$ 와 호크시ลด 호모로지 $HH_*(X)$ 를 $\operatorname{Hom}_{{\mathbf{D}}_{\mathrm{coh}}^{b}(X\times X)}(\Delta_!\mathcal{O}_X[i], \mathcal{O}_\Delta)$ 로 정의한다.
• 무카이 원래의 쌍선을 일반화하여, K3 표면에서의 무카이 쌍선을 확장한 비퇴화된 등급 쌍선으로서 $HH_*(X)$ 위에 일반화된 무카이 쌍선을 도입한다.
• 세르 듀얼리티 하에서 쌍대 사상 $\Phi^\dagger$ 에 대한 우측 수반성을 이용해 정수 변환 $\Phi: \mathbf{D}_{\mathrm{coh}}^b(X) \to \mathbf{D}_{\mathrm{coh}}^b(Y)$ 에 대해 $\Phi_*: HH_*(X) \to HH_*(Y)$ 를 구성한다.
• 트레이스 호환성에 기반해, 단위의 이미지로서 유도된 사상 $\Phi_*: HH_*(\mathrm{pt}) \to HH_*(X)$ 를 사용해 $\operatorname{ch}({\mathscr{F}}) \in HH_0(X)$ 를 정의한다.
• 카른 특성 사상이 푸시포워드와 가환함을 증명하고, 무카이 쌍선 하에서 $\Phi_*$ 와 $\Psi_*$ 가 수반됨을 확립한다.
• 카테고리적 듀얼리티와 트레이스 공식을 사용하여 $\operatorname{Tr}_{X\times X}(\operatorname{ch}({\mathscr{F}}) \circ \nu) = \operatorname{Tr}_X(\nu_\mathscr{F})$ 가 성립함을 검증함으로써 정의가 자연 변환과 연결됨을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무카이의 쌍선과 K3 표면에서의 코homological 구조는 어떻게 임의의 매끄럽고 컴팩트한 복소다양체 및 궤도로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 왜 일반화된 무카이 구조의 자연스러운 대상은 특이 코homology가 아니라 호크시ลด 호모로지인가?
• RQ3 정수 변환의 복합에 대해 유도된 호모로지 사상의 적절한 함수적 행동은 무엇인가?
• RQ4 K-이론에서 호크시ลด 호모로지로의 카른 특성 사상은 어떻게 카테고리적으로 정의되고 쌍선과 호환되는가?
• RQ5 일반화된 무카이 쌍선과 유도 범주에서의 오일러 쌍선 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 호크시ลด 호모로지 위의 일반화된 무카이 쌍선은 비퇴화되어 있으며, K3 표면에서의 무카이 원래 쌍선의 자연스러운 확장이다.
• 정수 변환 $\Phi$ 에 의해 유도된 사상 $\Phi_*$ 는 함수성을 가진다: $(\Phi \circ \Psi)_* = \Phi_* \circ \Psi_*$ 이며, $\operatorname{Id}_* = \operatorname{Id}$ 이다.
• 카른 특성 $\operatorname{ch}({\mathscr{F}})$ 는 수반 구성에 의해 $HH_0(X)$ 의 원소로 잘 정의되며 자연 변환과의 트레이스 호환성을 만족한다.
• $\Phi_*$ 는 무카이 벡터의 호모로지적 실현 하에서의 구조를 유지하므로, 카른 특성 사상과 가환한다.
• 수반성 성립: $\Phi$ 가 $\Psi$ 의 왼쪽 수반이라면, $v \in HH_*(Y)$, $w \in HH_*(X)$ 에 대해 $\langle \Phi_*v, w \rangle_X = \langle v, \Psi_*w \rangle_Y $ 이다.
• 히르체브루흐-리만-로흐 공식이 이 설정에서 성립한다: $\langle v({\mathscr{E}}), v({\mathscr{F}}) \rangle = \chi({\mathscr{E}}, {\mathscr{F}})$, 여기서 $\chi$ 는 $K_0(X)$ 에서의 오일러 쌍선이다.