[论文解读] Data completion and stochastic algorithms for PDE inversion problems with many measurements

Farbod Roosta-Khorasani, Kees van den Doel+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于梯度或拉普拉斯正则化的数据补全方法，用于在实验间接收器不共享的情况下扩展PDE反演问题的数据，从而通过同时源（SS）算法实现高效的随机反演。该方法在中等程度数据补全（最多60–70%）下实现了至少2倍的加速，同时保持了高质量的重建结果，通过融入关于解光滑性的先验知识，确保了精度。

ABSTRACT

Inverse problems involving systems of partial differential equations (PDEs) with many measurements or experiments can be very expensive to solve numerically. In a recent paper we examined dimensionality reduction methods, both stochastic and deterministic, to reduce this computational burden, assuming that all experiments share the same set of receivers. In the present article we consider the more general and practically important case where receivers are not shared across experiments. We propose a data completion approach to alleviate this problem. This is done by means of an approximation using an appropriately restricted gradient or Laplacian regularization, extending existing data for each experiment to the union of all receiver locations. Results using the method of simultaneous sources (SS) with the completed data are then compared to those obtained by a more general but slower random subset (RS) method which requires no modifications.

研究动机与目标

• 解决在大量实验和非共享接收器条件下PDE基反演问题的高计算成本问题。
• 开发一种数据补全技术，使快速随机算法（如同时源SS）能够高效使用，这些算法要求共享接收器位置。
• 利用Sobolev空间理论，将关于解光滑性的先验知识融入数据补全过程。
• 在中等程度数据补全（最多60–70%缺失数据）情况下，实现加速同时保持重建精度。
• 提供一种理论合理、简单的替代方案，取代朴素插值方法，通过将物理约束嵌入补全过程。

提出的方法

• 通过求解带有梯度或拉普拉斯正则化的最小化问题，利用正则化将缺失数据扩展至所有接收器位置的并集，完成数据补全。
• 正则化基于Sobolev空间理论推导，确保补全后的数据符合PDE解的预期光滑性和边界行为。
• 补全后的数据使得同时源（SS）方法得以应用，该方法每条随机权重向量仅需一次PDE求解，显著降低计算成本。
• 该方法被集成于迭代高斯-牛顿或L-BFGS框架中，使用随机采样实验的随机估计器来近似残差函数。
• 采用松弛的停止准则，因为补全后的数据减少了随机近似中的噪声和偏差。
• 与不需数据补全但速度更慢、效率更低的随机子集（RS）方法进行对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过正则化实现的数据补全是否能实现在非共享接收器条件下的PDE基反演问题的高效随机反演？
• RQ2 在数据补全中使用梯度或拉普拉斯正则化如何影响重建精度和计算速度？
• RQ3 该方法在多大程度的数据补全（如60–70%）下仍保持鲁棒性和准确性？
• RQ4 与更通用但更慢的RS方法相比，补全数据后的SS方法在速度和精度方面表现如何？
• RQ5 该数据补全方法是否可通过根据解的特性调整正则化，推广至其他PDE反演问题？

主要发现

• 该数据补全方法使非共享接收器问题中能够使用快速的同时源（SS）算法，实现了最低2倍的加速。
• 在中等程度数据补全（最多60–70%）下，该方法生成了与更昂贵的随机子集（RS）方法相当的优质重建结果。
• 该方法平均比RS方法快2倍，部分情况下表现显著更优。
• 未经正则化的盲插值或近似方法，其重建效果劣于所提出的正则化数据补全方法。
• 在严重数据补全（如缺失数据达80%或以上）时，不推荐使用该方法，因为潜在偏差可能压倒观测数据。
• 该方法可与其它效率技术（如自适应内部迭代或自适应网格化）结合，表明具有进一步提升性能的潜力。