[论文解读] Data-driven feedback stabilization of nonlinear systems: Koopman-based model predictive control

Abhinav Narasingam, Joseph Sang‐Il Kwon|arXiv (Cornell University)|May 19, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 29被引用 12

一句话总结

本文提出了一种基于数据的模型预测控制（MPC）框架，利用Koopman算子理论来稳定非线性系统。通过使用Koopman特征函数将非线性动力学提升到函数空间，该方法将系统转化为双线性模型，从而能够高效计算控制李雅普诺夫函数（CLF），并通过李雅普诺夫约束MPC确保闭环稳定性，而无需显式了解原始系统动力学。

ABSTRACT

In this work, a predictive control framework is presented for feedback stabilization of nonlinear systems. To achieve this, we integrate Koopman operator theory with Lyapunov-based model predictive control (LMPC). The main idea is to transform nonlinear dynamics from state-space to function space using Koopman eigenfunctions - for control affine systems this results in a bilinear model in the (lifted) function space. Then, a predictive controller is formulated in Koopman eigenfunction coordinates which uses an auxiliary Control Lyapunov Function (CLF) based bounded controller as a constraint to ensure stability of the Koopman system in the function space. Provided there exists a continuously differentiable inverse mapping between the original state-space and (lifted) function space, we show that the designed controller is capable of translating the feedback stabilizability of the Koopman bilinear system to the original nonlinear system. Remarkably, the feedback control design proposed in this work remains completely data-driven and does not require any explicit knowledge of the original system. Furthermore, due to the bilinear structure of the Koopman model, seeking a CLF is no longer a bottleneck for LMPC. Benchmark numerical examples demonstrate the utility of the proposed feedback control design.

研究动机与目标

• 开发一种非线性系统的反馈稳定化框架，避免依赖显式系统模型。
• 利用Koopman算子理论将非线性动力学提升到函数空间，使其呈现双线性形式，从而可应用线性控制技术。
• 在模型预测控制（MPC）框架中集成控制李雅普诺夫函数（CLF），以保证在提升空间中的闭环稳定性。
• 确保在Koopman空间中的稳定性可通过连续可微的逆映射回传至原始状态空间。
• 在基准非线性系统（如摆系统）上展示该方法的有效性，实现无需显式系统知识的鲁棒稳定化。

提出的方法

• 利用从时间序列数据中提取的Koopman特征函数，将非线性系统动力学提升到高维函数空间。
• 通过在采样轨迹上应用扩展动态模态分解（EDMD）来近似Koopman算子及其特征函数。
• 在Koopman空间中将提升后的系统表述为双线性模型，从而实现高效的控制设计。
• 通过凸优化（如半定规划）获得二次控制李雅普诺夫函数（CLF），设计模型预测控制器。
• 在MPC公式中引入CLF作为约束，以强制实现Koopman系统的李雅普诺夫稳定性。
• 使用Sontag公式或其它显式控制律，在提升空间中计算反馈控制输入，确保稳定性与约束满足。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于Koopman的双线性模型能否在无需显式系统知识的情况下实现非线性系统的数据驱动反馈稳定化？
• RQ2 在基于Koopman的MPC框架中，如何高效计算并强制实施控制李雅普诺夫函数？
• RQ3 在什么条件下，Koopman提升空间中的稳定性可保证原始状态空间中的稳定性？
• RQ4 Koopman模型的双线性结构能否消除一般非线性系统中CLF搜索的计算瓶颈？
• RQ5 该控制器在稳定具有不稳定平衡点或极限环的系统（如摆）方面表现如何？

主要发现

• 所提出的基于Koopman的LMPC控制器在多种初始条件（[-1,1]×[-1,1]范围内）下成功将非线性摆系统稳定在原点。
• 闭环轨迹保持在开环系统极限环的范围内，表明系统具有鲁棒性，并能安全收敛至平衡点。
• 控制器在无需显式了解原始系统动力学的情况下实现稳定，仅依赖于数据驱动的Koopman近似。
• Koopman模型的双线性结构使得可通过凸优化高效计算控制李雅普诺夫函数，避免了CLF控制设计中的典型瓶颈。
• 使用Sontag公式或其它显式控制律可在提升空间中实现稳定反馈控制，控制器增益 $ k = 10 $ 通过经验选择以优化性能。
• 该方法表明，若状态空间与函数空间之间存在连续可微的逆映射，则Koopman双线性系统的稳定性可推出原始非线性系统的稳定性。