[论文解读] Data recovery from corrupted observations via l1 minimization

Dongcai Su|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2016

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 35被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于 l1 最小化的框架，利用部分傅里叶感知矩阵从被污染的线性测量中恢复稀疏信号。结果表明，即使高达近 100% 的测量值被任意污染，只要信号足够稀疏，仍可实现精确恢复——其渐近最优的稀疏性边界相比先前工作提升了 ln(n) 因子。

ABSTRACT

This paper studies the problem of recovering a signal vector and the corrupted noise vector from a collection of corrupted linear measurements through the solution of a l1 minimization, where the sensing matrix is a partial Fourier matrix whose rows are selected randomly and uniformly from rows of a full Fourier matrix. After choosing the parameter in the l1 minimization appropriately, we show that the recovery can be successful even when a constant fraction of the measurements are arbitrarily corrupted, moreover, the proportion of corrupted measurement can grows arbitrarily close to 1, provided that the signal vector is sparse enough. The upper-bound on the sparsity of the signal vector required in this paper is asymptotically optimal and is better than those achieved by recent literatures [1, 2] by a ln(n) factor. Furthermore, the assumptions we impose on the signal vector and the corrupted noise vector are loosest comparing to the existing literatures [1-3], which lenders our recovery guarantees are more applicable. Extensive numerical experiments based on synthesis as well as real world data are presented to verify the conclusion of the proposed theorem and to demonstrate the potential of the l1 minimization framework.

研究动机与目标

• 解决当大量线性测量被任意污染时恢复稀疏信号的挑战。
• 开发一种在严重测量污染下仍保持高精度的鲁棒恢复框架。
• 改进压缩感知中关于信号稀疏性和污染容忍度的现有理论边界。
• 放宽对信号和噪声结构的假设，提升在真实世界数据中的适用性。

提出的方法

• 将恢复问题表述为对信号向量和被污染的噪声向量的 l1 最小化。
• 使用从完整傅里叶矩阵中均匀随机选取行的部分傅里叶矩阵作为感知矩阵。
• 在 l1 最小化中引入一个平衡信号与噪声恢复的参数，并针对鲁棒性进行优化。
• 基于随机矩阵理论和稀疏恢复原理的理论分析，推导出恢复保证。
• 建立在被污染测量比例趋近于 1 的情况下仍可实现精确恢复的条件。
• 通过在合成数据和真实世界数据上的大量数值实验验证该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 当恒定比例的测量值被任意污染时，l1 最小化能否恢复稀疏信号？
• RQ2 在所提出的框架下，仍能实现精确信号恢复的最大被污染测量比例是多少？
• RQ3 信号向量所需的稀疏性如何随问题规模变化，是否具有渐近最优性？
• RQ4 与先前工作相比，本方法对信号和噪声向量的假设有何不同，其对实际适用性有何影响？
• RQ5 与合成基准相比，该方法在真实世界数据上的表现如何？

主要发现

• 所提方法在信号足够稀疏时，即使被污染测量比例趋近于 1，仍可实现精确信号恢复。
• 恢复所需的信号稀疏性上界具有渐近最优性，相比先前工作提升了 ln(n) 因子。
• 与现有文献相比，理论保证在对信号和噪声向量的假设上最为宽松。
• 数值实验在合成数据和真实世界数据上均验证了理论预测，表现出鲁棒性能。
• 该方法在极端污染水平下仍保持高恢复精度，在容错能力和稀疏性要求方面优于先前方法。