[论文解读] Deformation Quantization of Surjective Submersions and Principal Fibre Bundles

Martin Bordemann, Nikolai Neumaier+2 more|ArXiv.org|Nov 19, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对满射子mersions和主纤维丛的形变量子化框架，其中全空间上的函数被形变为基空间上星积代数的右模，且在主作用下保持不变。关键结果是此类形变的存在性与唯一性，以及在辛几何设定下，当丛足够非平凡时，由于非平凡的陈类，将拉回映射提升为代数同态存在拓扑障碍。

ABSTRACT

In this paper we establish a notion of deformation quantization of a surjective submersion which is specialized further to the case of a principal fibre bundle: the functions on the total space are deformed into a right module for the star product algebra of the functions on the base manifold. In case of a principal fibre bundle we require in addition invariance under the principal action. We prove existence and uniqueness of such deformations. The commutant within all differential operators on the total space is computed and gives a deformation of the algebra of vertical differential operators. Applications to noncommutative gauge field theories and phase space reduction of star products are discussed.

研究动机与目标

• 通过形式星积定义满射子mersions和主纤维丛的一致形变量子化。
• 通过在形变中要求 G-不变性，确保与主群作用的相容性。
• 建立此类全空间形变模结构的存在性与唯一性。
• 计算形变代数在垂直微分算子代数中的交换子，从而得到垂直微分算子代数的形变。
• 识别将拉回映射提升为代数同态的障碍，特别是在基流形具有非平凡线丛时。

提出的方法

• 通过在全空间光滑函数代数上赋予基流形上星积代数的右模结构，定义满射子mersion的形变量子化。
• 在主作用下施加形变乘积的 G-不变性，以确保与丛结构的相容性。
• 使用全空间上光滑函数的拓扑巴复形与柯尔莫哥洛夫复形分析形变上同调。
• 将形变的垂直微分算子代数构造为形变基代数在全空间微分算子代数中的交换子。
• 将该理论应用于相伴向量丛，表明形变的自同态代数作为莫里塔等价双模出现。
• 利用德拉姆上同调中的陈类障碍，证明在非平凡丛中，某些形变代数同态的提升不存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否一致地定义主纤维丛的形变量子化，使得全空间上的函数构成基空间星积代数上的 G-不变右模？
• RQ2 在形变设定下，从基空间到全空间的拉回映射在何种条件下能提升为 G-等变代数同态？
• RQ3 全空间上垂直微分算子代数中，形变基代数的交换子结构如何？
• RQ4 在辛几何设定下，拓扑不变量如第一陈类如何阻碍此类形变的存在性？
• RQ5 对于由主丛构造的相伴向量丛，莫里塔等价在形变设定下是否得以保持？

主要发现

• 满射子mersion的形变量子化存在且唯一，全空间上的函数构成基空间星积代数上的 G-不变右模。
• 形变基代数在垂直微分算子中的交换子给出了经典垂直微分算子代数的形变。
• 在基空间上使用辛星积时，若主丛足够非平凡（即存在第一陈类非零的非平凡线丛），则将拉回映射提升为 G-等变代数同态的存在性受阻。
• 障碍源于星积相对类的矛盾：一方面要求相对类为零（由平凡表示得出），另一方面又要求非零（由非平凡表示得出），违反等价性。
• 霍普夫纤维丛 $ S^3 \to S^2 $ 提供了一个具体例子，说明在足够非平凡的丛中此类障碍会发生，原因在于非平凡的 $ c_1(L_n) = n c_1(L_1) \neq 0 $ 对 $ n \neq 0 $。
• 当丛非平凡时，由于陈类不匹配，无法在 $ C^\infty(P)[[\lambda]] $ 上对两个不同的星积 $ \star $ 和 $ \star'_{M} $ 定义 G-不变双模结构。