[论文解读] Deformations and homotopy theory of Rota-Baxter algebras of any weight

Kai Wang, Guodong Zhou|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2021

Advanced Topics in Algebra参考文献 58被引用 5

一句话总结

本文通过构建一个控制结合积与Rota-Baxter算子同时变形的 $L_{∞}$-代数，为任意权的Rota-Baxter代数建立了上同调理论。证明了低阶上同调群分类了形式变形与阿贝尔扩张，并将同伦Rota-Baxter代数定义为该 $L_{∞}$-代数中的Maurer-Cartan元，表明其控制操作符 admits 一个极小模型。

ABSTRACT

This paper studies formal deformations and homotopy theory of Rota-Baxter algebras of any weight. We define an $L_\infty$-algebra, which controls simultaneous deformations of associative products and Rota-Baxter operators. As a consequence, we develop a cohomology theory of Rota-Baxter algebras of any weight and justify it by interpreting lower degree cohomology groups as formal deformations and abelian extensions. The notion of homotopy Rota-Baxter algebras is introduced and it is shown that the operad governing homotopy Rota-Baxter algebras is a minimal model of the operad of Rota-Baxter algebras.

研究动机与目标

• 为任意权的Rota-Baxter代数发展上同调理论，填补变形与上同调理论中长期存在的空白。
• 构建一个 $L_{\infty}$-代数，以控制Rota-Baxter代数中结合积与Rota-Baxter算子的同步变形。
• 将低阶上同调群解释为分类Rota-Baxter代数的形式变形与阿贝尔扩张。
• 将同伦Rota-Baxter代数定义为所构造的 $L_{\infty}$-代数中的Maurer-Cartan元。
• 证明控制同伦Rota-Baxter代数的operad是Rota-Baxter代数operad的极小模型。

提出的方法

• 为任意权的Rota-Baxter代数构造变形复形，并赋予其一个 $L_{\infty}$-代数结构，以控制结合积与Rota-Baxter算子的同步变形。
• 定义Rota-Baxter代数的上链复形，并通过显式构造涉及Rota-Baxter算子与结合积的高阶括号，赋予其 $L_{\infty}$-结构。
• 将Rota-Baxter代数结构实现为 $L_{\infty}$-代数中的Maurer-Cartan元，将代数结构与Maurer-Cartan方程的解联系起来。
• 将同伦Rota-Baxter代数引入为 $L_{\infty}$-代数中的Maurer-Cartan元，推广了严格的代数结构。
• 利用 $L_{\infty}$-代数定义控制Rota-Baxter代数的operad的极小模型，证明其为一个上纤维化解析。
• 将该理论应用于解释上同调群：$H^1$ 分类无穷小变形，$H^2$ 分类阿贝尔扩张，$H^3$ 分类形式变形的障碍。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为任意给定权的Rota-Baxter代数构造一个上同调理论，以同时捕捉结合积与Rota-Baxter算子的变形？
• RQ2 何种 $L_{\infty}$-代数结构控制Rota-Baxter代数中结合积与Rota-Baxter算子的同步变形？
• RQ3 Rota-Baxter代数的低阶上同调群如何与形式变形及阿贝尔扩张相关联？
• RQ4 Rota-Baxter代数的同伦版本是什么，它与 $L_{\infty}$-代数结构有何关系？
• RQ5 Rota-Baxter代数的operad是否与一个极小模型 quasi-isomorphic？若是，其结构如何？

主要发现

• Rota-Baxter代数上链复形上的 $L_{\infty}$-代数结构控制了结合积与Rota-Baxter算子的同步变形。
• 第一上同调群 $H^1$ 分类了Rota-Baxter代数结构的无穷小变形。
• 第二上同调群 $H^2$ 分类了Rota-Baxter代数的阿贝尔扩张。
• 第三上同调群 $H^3$ 分类了Rota-Baxter代数形式变形的障碍。
• 同伦Rota-Baxter代数被定义为 $L_{\infty}$-代数中的Maurer-Cartan元，为Rota-Baxter代数提供了同伦理论推广。
• 控制同伦Rota-Baxter代数的operad是任意权Rota-Baxter代数operad的极小模型。