[論文レビュー] Deformations of W-algebras associated to simple Lie algebras

Edward Frenkel, Nicolai Reshetikhin|ArXiv.org|Aug 4, 1997

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 94

ひとこと要約

本稿は、任意の単純リー代数に対して、自由場実現とスクリーニング作用素を用いて、$χ_{q,t}(\mathfrak{g})$ と表記される二パラメータ変形 W-代数を導入する。古典的型の場合の生成子について明示的な公式を確立し、量子アフィン可積分模型における解析的ベーテアンツァツの深いつながりを明らかにし、$χ_{q,t}(\mathfrak{g})$ が $U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$、$U_t({}^L\widehat{\mathfrak{g}})$、および $U_t(\widehat{\mathfrak{g}}^\vee)$ の転送行列と関連することを示し、表現環の統一的変形を示唆する。

ABSTRACT

Deformed $\W$--algebra $\W_{q,t}(\g)$ associated to an arbitrary simple Lie algebra $\g$ is defined together with its free field realizations and the screening operators. Explicit formulas are given for generators of $\W_{q,t}(\g)$ when $\g$ is of classical type. These formulas exhibit a deep connection between $\W_{q,t}(\g)$ and the analytic Bethe Ansatz in integrable models associated to quantum affine algebras $U_q(\G)$ and $U_t(\GL)$. The scaling limit of $\W_{q,t}(\g)$ is closely related to affine Toda field theories.

研究の動機と目的

• 任意の単純リー代数 $\mathfrak{g}$ に対して、W-代数の二パラメータ変形 $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ を定義すること。
• $\mathfrak{g}$ が古典的型である場合に、$\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ の明示的な自由場実現とスクリーニング作用素を提供すること。
• $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ の生成子と、量子アフィン可積分模型における転送行列の解析的ベーテアンツァツの公式との関係を確立すること。
• $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ のポアソン極限を調べ、臨界レベルにおける量子包あくり代数の中心との同型を予想すること。

提案手法

• 各単純リー代数 $\mathfrak{g}$ に対して、Cartan行列の二パラメータ変形を定義する。
• ヒルベルト代数 $\mathcal{H}_{q,t}(\mathfrak{g})$ を構成し、それに作用するスクリーニング作用素を導入する。
• $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ を $\mathcal{H}_{q,t}(\mathfrak{g})$ 内のスクリーニング作用素の中心化群として定義する。
• 生成子の形を予想し、この予想から交換関係を導出する。
• スクリーニングカレントの関係を計算し、既知の代数的構造と整合することを検証する。
• 変形されたチャーラル代数の枠組みを用いて、演算子積構造と正則性条件を形式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の単純リー代数に対して、W-代数の二パラメータ変形を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 古典的リー代数に対して、$\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ の明示的な自由場実現は何か？
• RQ3 $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ の生成子は、$U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$ および $U_t({}^L\widehat{\mathfrak{g}})$ の可積分模型における転送行列の固有値とどのように関係するか？
• RQ4 $\mathcal{W}_{1,t}(\mathfrak{g})$ のポアソン代数の構造は何か？ また、$G((z))$ のドリンフェルト＝ソコロフ還元とどのように関係するか？
• RQ5 $q\to\epsilon$ の極限における可換部分代数 $\mathcal{W}'_{\epsilon,t}(\mathfrak{g})$ は、臨界レベルにおける $U_t({}^L\widehat{\mathfrak{g}})$ の中心と同型であるか？

主な発見

• $A_\ell$、$B_\ell$、$C_\ell$、$D_\ell$ の古典的リー代数に対して、$q$ と $t$ の有理関数としての生成子の明示的公式が提供される。
• $\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ の自由場実現は、$U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$、$U_t({}^L\widehat{\mathfrak{g}})$、および $U_t(\widehat{\mathfrak{g}}^\vee)$ の転送行列のベーテアンツァツの公式と直接的な対応関係を示す。
• $q\to 1$ の極限において、$\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ は $\mathfrak{g}$ に対応する通常の $\mathcal{W}$-代数に回復する。
• $t\to 1$ の極限において、$\mathcal{W}_{q,t}(\mathfrak{g})$ は可換になり、ポアソン構造を獲得する。この構造は、臨界レベルにおける $U_q(\widehat{\mathfrak{g}})$ の中心と同型であると予想される。
• $\mathfrak{g}=C_2$ の場合、ポアソン代数 $\mathcal{W}_{1,t}(C_2)$ は $\mathcal{W}^{t^2}(C_2)$ と同型であり、この場合に予想が正当化される。
• $q\to\epsilon$ の極限により、可換部分代数 $\mathcal{W}'_{\epsilon,t}(\mathfrak{g})$ が得られ、そのポアソン構造は、臨界レベルにおける $U_t({}^L\widehat{\mathfrak{g}})$ の中心と同型であると予想される。