[論文レビュー] Towards Deformed Chiral Algebras

Edward Frenkel, Nicolai Reshetikhin|ArXiv.org|Jun 18, 1997

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 46

ひとこと要約

本稿では、RSOS可解模型の動的対称性をなす変形W代数を理解するための新しい代数的枠組みとして、変形ねじれ代数（DCAs）を導入する。頂点演算子代数を、OPEの対角線をずらした形（z = wγ）とS行列によるS-非可換性を許容することで一般化することにより、変形VirasoroおよびW代数の自由場実現からDCAsを構成し、留数計算とメラモーフィック因数分解を用いて、演算子積関係およびフーリエ係数関係を体系的に導出する手法を提供する。

ABSTRACT

We describe a new algebraic structure of "deformed chiral algebra" motivated by the study of the deformed W-algebras. We use it to gain some insights into the deformed Virasoro algebra.

研究の動機と目的

• 変形W代数に明確な代数的構造が欠如しているという問題に応える。変形W代数はRSOS模型において重要な役割を果たすが、その構造はまだ十分に理解されていない。
• OPEをずらした対角線 z = wγ で許容し、S行列を用いたS-非可換性を導入することで、頂点演算子代数を一般化する。
• 自由場実現を用いて、変形W代数と量子アフィン代数の間の体系的な関係を確立する枠組みを提供する。
• 留数計算とメラモーフィック関数を用いて、変形Virasoro生成子の明示的な演算子積展開およびフーリエ係数関係を導出する。
• 生成関数とS行列因数分解を用いて、U_p(ŝl_N)における中心的要素とZ_{p,q}(ŝl_N)における生成場との関係を明確化する。

提案手法

• 変形ねじれ代数（DCA）を、場と状態のペア (V, W) として定義し、γ ∈ ℂ× 内の格子に属するγに対して、ずらし対角線 z = wγ におけるOPEを許容する。
• S-非可換性を導入：A(z)B(w) と B(w)A(z) の解析接続が、V⊗V 上のS行列作用によって異なることにより、局所性の一般化を行う。
• 変形W代数の自由場実現を用いて、特に変形Virasoro代数に対して、DCAsの明示的例を構成する。
• OPEにおける有理型関数 f(x) の留数を計算することでOPE関係を導出し、デルタ関数を含む演算子積展開を得る。
• 合成場（例：T̃(w)）のフーリエ係数を、閉路積分とローラン級数展開を用いて、T_i の二次結合として表現する。
• f(w/z)R(T(z)T(w)) = f(z/w)R(T(w)T(z)) という恒等式を用いて、異なる閉路積分を関連付け、構造定数の再帰関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変形W代数に、頂点演算子代数を一般化する整合的な代数的構造を定義する方法は何か？
• RQ2 ずらし対角線とS行列は、変形系におけるVOAの局所性公理をどのように修正するか？
• RQ3 変形VirasoroおよびW代数の自由場実現は、どのように変形ねじれ代数を生じさせるか？
• RQ4 U_p(ŝl_N)における中心的要素の生成関数と、Z_{p,q}(ŝl_N)における場との正確な関係は何か？
• RQ5 変形ねじれ代数における合成場のフーリエ係数は、元の生成子の代数的関係として表現可能か？

主な発見

• 変形ねじれ代数構造により、γ ∈ ℂ× 内の格子に属するγ に対して、OPEがずらされた対角線 z = wγ で定義可能となり、VOAの標準的対角線OPEを一般化する。
• 局所性の代替としてS-非可換性が導入され、A(z)B(w) と B(w)A(z) の交換子は、V⊗V 上のS行列作用によって規定される。
• 変形Virasoro代数に対して、T(z)T(w) のOPEは有理型関数 f(x) を用いて導出され、z = wp および z = wp⁻¹ におけるデルタ関数を含む関係が得られる。
• 場 T̃(w) は有理型関数の留数として定義され、T_i の二次結合として表現され、(1−q)(1+p)(1−pq⁻¹)/(1−q²)(1−p²q²) の形の追加定数項を含む。
• T̃(w) のフーリエ係数は、T_iT_{k−i} の和と、f(x)/(1−xpq²) の級数展開から得られる構造定数 α_i を含む和として表現可能であることが示された。
• この手法により、既知のOPE関係が正確に再現され、閉路積分と留数解析を用いた新しいOPE関係を体系的に導出する手法が有効であることが確認された。