[论文解读] Delocalized eta invariants, algebraicity, and $K$-theory of group $C^*$-algebras

Zhizhang Xie, Guoliang Yu|arXiv (Cornell University)|May 19, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用 17

一句话总结

本文在 $K$-理论框架下精确建立了 Higson-Roe 的高阶 rho 不变量与 Lott 的非局部化 eta 不变量之间在群 $C^*$-代数上的联系。通过为多项式增长的共轭类构造一个典范的行列式映射 $\tau_h$，证明了在 $\tau_h$ 下对高阶 rho 不变量的取值恰好等于相应的非局部化 eta 不变量。一个关键结果是：若 Baum-Connes 猜想成立，则 Lott 的非局部化 eta 不变量为代数数。

ABSTRACT

In this paper, we establish a precise connection between higher rho invariants and delocalized eta invariants. Given an element in a discrete group, if its conjugacy class has polynomial growth, then there is a natural trace map on the $K_0$-group of its group $C^\ast$-algebra. For each such trace map, we construct a determinant map on secondary higher invariants. We show that, under the evaluation of this determinant map, the image of a higher rho invariant is precisely the corresponding delocalized eta invariant of Lott. As a consequence, we show that if the Baum-Connes conjecture holds for a group, then Lott's delocalized eta invariants take values in algebraic numbers. We also generalize Lott's delocalized eta invariant to the case where the corresponding conjugacy class does not have polynomial growth, provided that the strong Novikov conjecture holds for the group.

研究动机与目标

• 建立一个概念性的 $K$-理论框架，以连接高阶 rho 不变量与非局部化 eta 不变量。
• 为多项式增长的共轭类 $\langle h\rangle$ 在 $K_0(C_r^*(\Gamma))$ 上定义一个典范的行列式映射 $\tau_h$。
• 证明高阶 rho 不变量在 $\tau_h$ 下的像等于相应的非局部化 eta 不变量。
• 在强诺维科夫猜想下，将 Lott 的非局部化 eta 不变量推广至非多项式增长的共轭类。
• 证明在有理数 Baum-Connes 猜想下，非局部化 eta 不变量为代数数。

提出的方法

• 利用多项式增长的共轭类 $\langle h\rangle$ 构造 $K_0(C_r^*(\Gamma))$ 上的迹映射 $\mathrm{tr}_h$。
• 将 $\mathrm{tr}_h$ 的精化定义为行列式映射 $\tau_h$，以评估二级不变量。
• 应用 Wang 和 Wang 的 $L^2$-Lefschetz 不动点定理，将 $\mathrm{tr}_h(\mathrm{Ind}_\Gamma(D_E))$ 与特征类联系起来。
• 应用 $L^2$-Lefschetz 公式，通过 $\hat{A}_\theta$ 和 $\hat{A}_\pi$ 类表达 $\mathrm{tr}_h(\mathrm{Ind}_\Gamma(D_E))$。
• 借助有理数 Baum-Connes 猜想，推导出 $\mathbb{Q}_\Gamma$ 中不变量的代数性。
• 在强诺维科夫猜想下，将非局部化 eta 不变量推广至非多项式增长的共轭类。

实验结果

研究问题

• RQ1 Higson-Roe 的高阶 rho 不变量与 Lott 的非局部化 eta 不变量在 $K$-理论层面上有何关系？
• RQ2 非局部化 eta 不变量能否推广至多项式增长之外的共轭类？
• RQ3 在何种条件下，非局部化 eta 不变量为代数数？
• RQ4 $K$-理论行列式映射 $\tau_h$ 在连接一阶与二级不变量中起什么作用？
• RQ5 非局部化 eta 不变量的代数性能否用于探测 Baum-Connes 猜想的反例？

主要发现

• 在行列式映射 $\tau_h$ 下对高阶 rho 不变量的取值恰好等于非局部化 eta 不变量：$\tau_h(\rho(\widetilde{D},\widetilde{g})) = -\frac{1}{2}\eta_{\langle h\rangle}(\widetilde{D})$。
• 若 $\Gamma$ 的有理数 Baum-Connes 猜想成立，则 $\eta_{\langle h\rangle}(\widetilde{D})$ 是 $\mathbb{Q}_\Gamma$ 中的代数数。
• 当 $h$ 的阶为无穷时，$\eta_{\langle h\rangle}(\widetilde{D}) = 0$，与已知的消去结果一致。
• 当 $h$ 的阶为有限时，$\mathrm{tr}_h(\mathrm{Ind}_\Gamma(D_E))$ 是 $\mathbb{Q}_\Gamma$ 中的代数数。
• $L^2$-Lefschetz 不动点定理在无增长假设下依然成立，且 $\mathrm{tr}_h(\mathrm{Ind}_\Gamma(D_E))$ 的公式通过 $\hat{A}_\theta$ 和 $\hat{A}_\pi$ 类表达。
• 本文提供了非局部化 Atiyah-Patodi-Singer 指标定理的一个 $K$-理论证明版本。