[论文解读] Derived complex analytic geometry I: GAGA theorems

Mauro Porta|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 16

一句话总结

本文通过发展一个导出解析化函子并证明：对于局部几乎有限表示的导出复解析空间，其到基础空间的典范映射是导出平坦的，从而在复解析几何中建立了导出 GAGA 定理。核心贡献是提出了 GAGA 原理的导出版本，表明解析形式模空间问题与代数模空间问题等价，其应用涵盖由微分分次李代数控制的形变理论。

ABSTRACT

In this paper, we expand the foundations of derived complex analytic geometry introduced in [DAG-IX] by J. Lurie. We start by studying the analytification functor and its properties. In particular, we prove that for a derived complex scheme locally almost of finite presentation $X$, the canonical map $X^{\mathrm{an}} o X$ is flat in the derived sense. Next, we provide a comparison result relating derived complex analytic spaces to geometric stacks. Using these results and building on the previous work arXiv:1412.5166, we prove a derived version of the GAGA theorems. As an application, we prove that the infinitesimal deformation theory of a derived complex analytic moduli problem is governed by a differential graded Lie algebra.

研究动机与目标

• 通过为导出复概化簇发展一个导出解析化函子，拓展导出复解析几何。
• 建立 GAGA 原理的导出版本，关联复几何中解析与代数模空间问题。
• 证明导出复解析模空间问题的无穷小形变理论由微分分次李代数控制。
• 通过点函子和预几何学方法，为导出解析空间提供函子性和堆范畴框架。

提出的方法

• 通过 $ au_{ ext{an}}$-拓扑在导出 Stein 空间上使用点函子方法描述导出解析空间。
• 为在 $ ext{Spec}(bC)$ 上局部几乎有限表示的导出 Deligne-Mumford 堆栈引入导出解析化函子 $X o X^{ ext{an}}$。
• 利用解析环和预几何学的性质，证明典范映射 $( ext{X}^{ ext{an}}, ext{O}_{X^{ ext{an}}}^{ ext{alg}}) o ( ext{X}, ext{O}_X)$ 的导出平坦性。
• 将 Grauert 定理应用于导出解析 Artin 堆栈，以在导出设定中建立凝聚性和恰当基变换。
• 使用 $binfty$-拓扑和 $binfty$-范畴的解析环理论，比较导出解析与代数结构。
• 采用 $n$-截断函子和几何的 $n$-桩，关联导出与经典解析堆栈。

实验结果

研究问题

• RQ1 导出解析化函子是否保持局部几乎有限表示的导出复解析空间的导出平坦性？
• RQ2 能否为导出解析 Artin 堆栈建立导出版本的 GAGA 定理？
• RQ3 导出复解析模空间问题的形变理论是否由微分分次李代数控制？
• RQ4 导出解析空间在 $ au_{ ext{an}}$-拓扑的导出 Stein 空间范畴中完全忠实嵌入的程度如何？
• RQ5 解析环的 $n$-截断如何与底层的经典解析结构相关？

主要发现

• 导出解析化函子 $X o X^{ ext{an}}$ 存在，且对在 $bC$ 上局部几乎有限表示的导出 Deligne-Mumford 堆栈是导出平坦的。
• 典范映射 $( ext{X}^{ ext{an}}, ext{O}_{X^{ ext{an}}}^{ ext{alg}}) o ( ext{X}, ext{O}_X)$ 是导出平坦的，推广了经典的 Grothendieck-Serre 解析化。
• 导出 GAGA 定理成立：对于导出解析 Artin 堆栈的正合态，高阶直接像与基变换可交换且为凝聚的。
• 解析形式模空间问题与代数形式模空间问题等价，确立了导出 GAGA 对应关系。
• 导出解析模空间问题的局部结构由微分分次李代数控制，证实了非交换 Hodge 理论中的一个关键预测。
• $ au_{ ext{an}}$-拓扑的导出 Stein 空间范畴完全忠实嵌入到导出解析空间的 $binfty$-范畴中，且在 $n$-局部化和 $n$-截断对象上保持等价。