[论文解读] Description of limits of ranges of iterations of stochastic integral mappings of infinitely divisible distributions

Ken‐iti Sato|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 7

一句话总结

该论文刻画了在 R^d 上无限可分分布的迭代随机积分映射嵌套范围的极限，表明对于三类核函数 f，极限类要么是完全自相似分布类 L_∞，要么是通过谱测度集中和均值条件定义的真子类，其中临界情况 α=1 需要引入弱均值零的概念。

ABSTRACT

For infinitely divisible distributions $ρ$ on $\mathbb{R}^d$ the stochastic integral mapping $Φ_fρ$ is defined as the distribution of improper stochastic integral $\int_0^{\infty-} f(s) dX_s^{(ρ)}$, where $f(s)$ is a non-random function and $\{X_s^{(ρ)}\}$ is a Lévy process on $\mathbb{R}^d$ with distribution $ρ$ at time 1. For three families of functions $f$ with parameters, the limits of the nested sequences of the ranges of the iterations $Φ_f^n$ are shown to be some subclasses, with explicit description, of the class $L_{\infty}$ of completely selfdecomposable distributions. In the critical case of parameter 1, the notion of weak mean 0 plays an important role. Examples of $f$ with different limits of the ranges of $Φ_f^n$ are also given.

研究动机与目标

• 确定在 R^d 上特定核函数族 f 的迭代随机积分映射 Φ_f^n 的极限类。
• 研究这些迭代的渐近行为如何依赖于 f 中的参数，特别是临界情况 α=1。
• 阐明弱均值零在刻画 α=1 时极限类中的作用。
• 将已知结果从 f(s)=e^{-s} 时 L_∞ 为极限扩展到具有幂律或对数衰减的更广泛 f 类。
• 根据参数 α 和 f 的可积性条件，识别出作为极限的完全自相似分布的新子类。

提出的方法

• 将随机积分映射 Φ_f 定义为 ∫₀^∞⁻ f(s) dX_s^(ρ) 的分布，其中 {X_s^(ρ)} 是在时间 1 具有 ρ 的 Lévy 过程。
• 通过递归方式研究迭代 Φ_f^n，其定义域 D(Φ_f^n) 由 D(Φ_f) 的迭代成员资格定义。
• 利用 Lévy-Khintchine 表示法分析 μ ∈ ID 的 Lévy 测度 ν_μ，特别是其关于 β ∈ (0,2) 和 ξ ∈ S^{d-1} 的谱表示。
• 通过谱集中：L_∞^E（E ⊆ (0,2)）将极限类 R_∞(Φ_f) 表征为所有 R(Φ_f^n) 的交集。
• 应用弱均值零（Lévy 三元组中漂移项消失）的概念以处理临界情况 α=1。
• 利用自相似性、稳定性及卷积封闭类的性质，证明极限中的包含关系与等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于参数为 α 的核函数 f(s) = s^{-α} 或其相关函数，随机积分映射的极限类 R_∞(Φ_f) 是什么？
• RQ2 当 α=1 时，极限类如何变化，为何弱均值零概念在此情况下至关重要？
• RQ3 极限类是否可以是 L_∞ 的真子类，若是，其在 f 及其参数上的条件是什么？
• RQ4 对于哪些 f 家族，R_∞(Φ_f) 等于 L_∞，而对于哪些则等于更小的类如 L_∞^(α,2) ∩ {μ: μ 有均值 0}？
• RQ5 是否存在 R_∞(Φ_f) 严格小于 L_∞ 的情况，此类类能否显式描述？

主要发现

• 当 α ≤ 0 且 p ≥ 1，或 0 < α < 1 且 p ≥ 1 时，极限类 R_∞(Φ_f) 为 L_∞，即完全自相似分布类。
• 当 1 < α < 2 且 p ≥ 1 时，极限类为 L_∞^(α,2) ∩ {μ ∈ ID: μ 有均值 0}，是 L_∞ 的真子类。
• 当 α = 1 且 q = 1 时，极限类为 L_∞^(1,2) ∩ {μ ∈ ID: μ 有弱均值零}，是严格小于 L_∞ 的类。
• 当 α = 1 且 q ≠ 1 时，极限类尚未完全刻画，表明该参数区域存在开放问题。
• 对于 f(s) = b1_{[0,1]} + 1_{(1,2]}，b-自相似分布的极限类 L_∞(b) 包含于 R_∞(Φ_f) 中，但未建立等式。
• 本文指出，对于若干 f，R_∞(Φ_f) 尚不明确，包括 l_{q,1}(s)（q ∈ (0,1) ∪ (1,∞)）以及 f(s) = e^{-s}1_{[0,c]}(s)，突显了未来研究方向。