[论文解读] Detecting the c-effectivity of motives, their weights, and dimension via Chow-weight (co)homology: a "mixed motivic decomposition of the diagonal"

Mikhail V. Bondarko, Vladimir Sosnilo|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 11

一句话总结

本文引入 Chow-权重 (co)同调以检测动机的 c-有效性、确定其权重并界定其维数。研究证明：一个动机是 1-有效的当且仅当由零维循环 Chow 群构成的复形是正合的，通过混合动机分解框架推广了对角分解结果。

ABSTRACT

We describe certain criteria for a motif M to be $c$-effective, i.e., to belong to $c$th Tate twist $Obj DM^{eff}_{gm,R}(c)=Obj DM^{eff}_{gm,R} \otimes L^{\otimes c}$ of effective Voevodsky motives (for $c\ge 1$; R is coefficient ring). In particular, M if 1-effective if and only if a complex whose terms are certain Chow groups of zero-cycles is acyclic. The dual to this statement checks whether an effective motif M belongs to subcategory of $DM^{eff}_{gm,R}$ generated by motives of varieties of dimension $\le c$. These criteria are formulated in terms of Chow-weight (co)homology of M. These (co)homology theories are introduced in current paper and have several (other) remarkable properties: they yield a bound on weights of M (in sense of Chow weight structure defined by first author) and detect effectivity of the lower weight pieces of M. We also calculate connectivity of $M$ (in sense of Voevodsky's homotopy t-structure) and prove that exponents of higher motivic homology groups (of an integral motif) are bounded whenever these groups are torsion. These motivic properties of M have important consequences for its (co)homology. Our results yield a vast generalization of so-called decomposition of diagonal statements.

研究动机与目标

• 通过 Chow-权重 (co)同调发展判定动机是否为 c-有效的准则。
• 刻画动机属于由维数 ≤ c 的代数簇的动机生成的子范畴的条件。
• 在 Chow 权重结构的意义下界定动机的权重。
• 检测动机在权重结构分解中较低权重部分的有效性。
• 计算 Voevodsky 的同伦 t-结构中动机的连通性，并在 torsion 情况下界定高阶动机同调群的指数。

提出的方法

• 通过权重结构引入 Chow-权重 (co)同调作为动机的新同调理论。
• 构造一个各项为零维循环 Chow 群的复形，通过正合性来检验 1-有效性。
• 利用对偶性将正合性条件与由维数 ≤ c 的代数簇的动机生成的子范畴联系起来。
• 应用权重结构来界定动机的权重，并检测其权重部分的有效性。
• 利用新的 (co)同调理论分析 Voevodsky 的同伦 t-结构中动机的连通性。
• 利用 Chow-权重 (co)同调的结构，对 torsion 情况下的高阶动机同调群的指数建立上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种条件下可保证动机的 c-有效性，特别是当 c=1 时？
• RQ2 Chow-权重 (co)同调如何检测动机的维数与权重滤子？
• RQ3 零维循环 Chow 群复形的正合性以何种方式刻画 1-有效性？
• RQ4 动机的权重如何与它的 Chow-权重 (co)同调及权重结构相关联？
• RQ5 当高阶动机同调群为 torsion 时，可对它们的指数施加何种上界？

主要发现

• 一个动机是 1-有效的当且仅当由零维循环 Chow 群构成的复形是正合的。
• 对偶条件可检测动机是否属于由维数 ≤ c 的代数簇的动机生成的子范畴。
• Chow-权重 (co)同调在 Chow 权重结构的意义下为动机的权重提供了上界。
• 该理论可检测动机在权重结构分解中较低权重部分的有效性。
• 动机在 Voevodsky 的同伦 t-结构中的连通性由其 Chow-权重 (co)同调决定。
• 当高阶动机同调群为 torsion 时，通过新的 (co)同调框架可对积分动机的指数施加上界。