[论文解读] On torsion pairs, (well generated) weight structures, adjacent $t$-structures, and related (co)homological functors

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 41被引用 17

一句话总结

本文建立了三角范畴中权结构与 t-结构之间的深刻联系，证明在具有布朗表示性的完备三角范畴上，若存在一个破坏性权结构，则可导出一个右相邻的 t-结构。关键贡献在于一个刻画：此类 t-结构存在的充要条件是权结构为破坏性结构，且其心范畴与从权心到阿贝尔群的保积函子范畴等价。

ABSTRACT

The paper contains a collection of results related to weight structures, $t$-structures, and (more generally) to torsion pairs. For any weight structure $w$ we study (co)homological pure functors; these "ignore all weights except weight zero" and have already found several applications. We also study virtual $t$-truncations of cohomological functors coming from $w$. These are closely related to $t$-structures; so we prove in several cases (including certain categories of coherent sheaves) that $w$ "gives" a $t$-structure (that is adjacent or $Φ$-orthogonal to it). We also study in detail "well generated" weight structures (and prove that any perfect set of objects generates a weight structure). The existence of weight structures right adjacent to compactly generated $t$-structures (and constructed using Brown-Comenetz duality) implies that the hearts of the latter have injective cogenerators and satisfy the AB3* axiom; actually, "most of them" are Grothendieck abelian (due to the existence of "regularly orthogonal" weight structures). It is convenient for us to use the notion of torsion pairs; these essentially generalize both weight structures and $t$-structures. We prove several properties of torsion pairs (that are rather parallel to that of weight structures); we also generalize a theorem of D. Pospisil and J. Stovicek to obtain a classification of compactly generated torsion pairs.

研究动机与目标

• 阐明权结构与 t-结构之间的关系，特别是通过相邻与正交构造的视角。
• 研究仅检测权重零的纯（共）同调函子，及其在同调代数与 Picard 群计算中的作用。
• 建立权结构诱导 t-结构的条件，尤其在良好生成或紧生成范畴中。
• 研究 t-结构心范畴的结构，特别是其 Grothendieck 阿贝尔性与 AB3* 性质。
• 将 torsion 对理论推广，以统一并拓展权结构与 t-结构的相关结果，包括对偶性与正交性条件。

提出的方法

• 引入并分析在除零权外所有权重上消失的‘纯函子’，利用其检测权结构。
• 通过权结构定义‘虚拟 t-截断’，将其与 t-结构构造联系起来。
• 应用 Brown-Comenetz 对偶性，证明在破坏性权结构上存在右相邻的 t-结构。
• 将 torsion 对的概念作为统一框架，推广权结构与 t-结构结果。
• 运用局部化与列极限技术研究紧生成范畴及其分裂结构。
• 应用 Kan 扩张与双扩张，构造并刻画三角范畴与正交 torsion 对之间的对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在完备三角范畴上，何种条件下权结构会导出右相邻的 t-结构？
• RQ2 仅检测权重零的纯函子与三角范畴的 Picard 群及上同调不变量有何关系？
• RQ3 在紧生成情形下，与权结构相邻的 t-结构的心结构是怎样的，特别是其性质如何？
• RQ4 三角范畴中的 torsion 对在何种情况下是紧生成的？此类对如何分类？
• RQ5 何种意义下，双连续对偶性或良好对偶性能确保紧生成 t-结构的心为 Grothendieck 阿贝尔范畴？

主要发现

• 在具有布朗表示性的完备三角范畴 $ 쯏 $ 上，权结构 $ w $ 允许右相邻 t-结构，当且仅当 $ w $ 是破坏性结构。
• 所导出 t-结构的心范畴与函子范畴 $ 쿟^{ ext{op}} \to \underline{Ab} $ 等价，其中 $ 쿟 $ 是 $ w $ 的心。
• 对于任意紧生成三角范畴，其紧生成 t-结构的心范畴是 Grothendieck 阿贝尔范畴，满足 AB3*，且通常满足 AB5。
• 良好生成的权结构存在，且由完美类或对称类的对象生成，同时提供了紧生成 torsion 对的完整分类。
• 将紧生成对象范畴分解为两个全满三角子范畴的直和，可唯一诱导出一个保持余积的正合投影函子，且若原 torsion 对为破坏性，则其在直和分量上诱导的 torsion 对亦为破坏性。
• 在子范畴 $ \uCf^{1} $ 上，可通过从紧生成对象的对偶性进行双扩张，得到一个良好对偶性 $ \Phi^1 $，且通过 $ \Phi^1 $，诱导的权结构与 t-结构互为正交。