[论文解读] Determinantal singularities and Newton polyhedra

Alexander Esterov|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2009

Polynomial and algebraic computation参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文引入了结果式奇点——行列式奇点和完备交集奇点的推广——其拓扑不变量可通过牛顿多面体计算。通过发展相对混合体积、广义 Kouchnirenko-Bernstein 公式以及 торические 酉解，作者证明：在一般位置条件下，由解析芽定义的映射的拓扑次数（或 Poincaré-Hopf 指标）等于 $ n! \cdot \text{Vol}(\Delta_1, \ldots, \Delta_n) $，从而通过凸几何统一了经典的结果式与奇点理论结果。

ABSTRACT

There are two well known tasks, related to Newton polyhedra: to study invariants of singularities in terms of their Newton polyhedra, and to describe Newton polyhedra of resultants and discriminants. We introduce so called resultantal singularities, whose study in terms of Newton polyhedra unifies these two tasks to a certain extent. As an application, we study topological invariants of determinantal singularities and (co)vector fields on singular varieties in terms of Newton polyhedra, and provide new formulations and proofs for a number of well known results. The computations are based on certain relative versions of the mixed volume and the Kouchnirenko--Bernstein--Khovanskii formula. For the most part, this is a significantly updated exposition of material from four recent papers by the author.

研究动机与目标

• 通过一类新奇点——结果式奇点，统一研究判别式/结果式（任务 A）与奇点不变量（任务 B）。
• 将经典的 Kouchnirenko-Bernstein 公式推广至相对与混合体积设定下的牛顿多面体。
• 利用牛顿多面体计算行列式与结果式奇点的拓扑不变量，如 Milnor 数与 Poincaré-Hopf 指标。
• 为结果式奇点构造 toric 酉解，并开发一种新工具——适用于此类奇点的交点数 Cayley 技巧。

提出的方法

• 为正象限中多面体对引入相对混合体积，将经典混合体积推广至非满维情形。
• 发展 Kouchnirenko-Bernstein 公式的相对版本，用于根据牛顿多面体与首项系数计算方程组解的个数。
• 将广义公式应用于计算映射 $ (f_1,\ldots,f_n): (\mathbb{C}^n,0) \to (\mathbb{C}^n,0) $ 的拓扑次数，结果为 $ n! \cdot \text{Vol}(\Delta_1,\ldots,\Delta_n) $，在一般位置条件下成立。
• 利用牛顿多面体与 Minkowski 和结构，为结果式奇点构造 toric 酉解。
• 引入交点数的 Cayley 技巧，为结果式奇点特有、在完备交集中不可用的新工具。
• 通过 Minkowski 和的投影与格点计数，将多面复形中的整数点与方程组解联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过牛顿多面体统一研究结果式与判别式，以及奇点不变量？
• RQ2 对于涉及非满维牛顿多面体的系统，Kouchnirenko-Bernstein 公式的精确推广形式为何？
• RQ3 如何利用牛顿数据计算行列式奇点的 Poincaré-Hopf 指标与 Milnor 数？
• RQ4 相对混合体积与 toric 酉解在计算结果式奇点不变量中起何作用？
• RQ5 Cayley 技巧能否用于计算超越完备交集的不变量？

主要发现

• 若映射 $ (f_1,\ldots,f_n) $ 的首项系数满足关于任意线性函数 $ l $ 在 $ (\mathbb{C}^\times)^n $ 中无公共根的一般位置条件，则其在原点的拓扑次数等于 $ n! \cdot \text{Vol}(\Delta_1,\ldots,\Delta_n) $。
• 该一般位置条件等价于所有 $ l $-拟齐次分量中混合体积非零，从而保证次数恰好等于体积项。
• 0维完备交集 $ f_1=\cdots=f_n=0 $ 的 Milnor 数比拓扑次数小 1，此结论可推广至高维行列式奇点。
• 通过 Minkowski 和与牛顿多面体的几何结构，构造了结果式奇点的 toric 酉解，从而实现不变量的显式计算。
• Cayley 技巧通过将问题提升至高维多面复形并投影格点，实现了对结果式奇点交点数的计算。
• 相对混合体积与广义 Bernstein 公式可推广至牛顿多面体非满维的系统，从而在奇点理论中获得新结果。