[论文解读] Diagonal-unitary t-designs and their constructions

Yoshifumi Nakata, Mio Murao|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 1

一句话总结

本文引入了对角酉 t-设计——即相位均匀分布的对角酉矩阵——并提出了两种量子线路，用于在 N-量子比特系统中生成精确和近似的 2-设计。第一种方法对所有量子比特对应用随机化的受控相位门，以 O(N²) 个门实现精确的 2-设计；第二种方法使用随机选择的量子比特对与受控-Z 门，实现 ϵ-近似的 2-设计，所需门数为 O(N²(N + log 1/ϵ))，从而实现仅用 O(N) 个经典比特即可高效生成精确的随机态 2-设计。

ABSTRACT

We study efficient generations of random diagonal-unitary matrices, an ensemble of unitary matrices diagonal in a given basis with randomly distributed phases for their eigenvalues. Despite the simple algebraic structure, they cannot be achieved by quantum circuits composed of a few-qubit diagonal gates. We introduce diagonal-unitary $t$-designs and present two quantum circuits that implement diagonal-unitary $2$-designs with the computational basis in $N$-qubit systems. One is composed of single-qubit diagonal gates and controlled-phase gates with randomized phases, which achieves an exact diagonal-unitary $2$-design after applying the gates on all pairs of qubits. The number of required gates is $N(N-1)/2$. If the controlled-Z gates are used instead of the controlled-phase gates, the circuit cannot achieve an exact $2$-design, but achieves an $\epsilon$-approximate $2$-design by applying gates on randomly selected pairs of qubits. Due to the random choice of pairs, the circuit obtains extra randomness and the required number of gates is at most $O(N^2(N+\log1/\epsilon))$. We also provide an application of the circuits, a protocol of generating an exact $2$-design of random states by combining the circuits with a simple classical procedure requiring $O(N)$ random classical bits.

研究动机与目标

• 开发高效的量子线路，用于生成相位均匀分布的对角酉矩阵，使其在 N-量子比特系统中构成 2-设计。
• 克服仅由少数量子比特的对角门无法构造对角酉矩阵的局限性。
• 以最少的门数和经典随机性，提供对角酉 2-设计的精确与近似构造方法。
• 通过混合量子-经典协议，实现仅用低经典比特复杂度即可生成精确的随机量子态 2-设计。

提出的方法

• 使用单量子比特对角门和带有随机相位的受控相位门，对所有量子比特对进行应用，以实现精确的对角酉 2-设计。
• 改用受控-Z 门并随机选择量子比特对，以实现 ϵ-近似的对角酉 2-设计。
• 利用随机选择的量子比特对引入的随机性，提升设计的近似质量，从而减少所需门数。
• 应用一个使用 O(N) 个随机经典比特的古典程序，与量子线路输出结合，生成精确的随机态 2-设计。
• 通过验证其一阶与二阶矩与哈尓测度一致，确保生成的对角酉矩阵集合构成 2-设计。
• 分析门复杂度与近似误差，以界定实现 ϵ-近似设计所需的门数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用由局部对角门和受控相位门构成的量子线路，高效生成相位均匀分布的对角酉矩阵？
• RQ2 在 N-量子比特系统中，构造精确的对角酉 2-设计所需的最少门数是多少？
• RQ3 在受控相位线路中随机选择量子比特对，能否以减少的门数实现 ϵ-近似的对角酉 2-设计？
• RQ4 使用对角酉线路生成精确的随机量子态 2-设计，需要多少经典随机比特？
• RQ5 在构建对角酉 t-设计时，门数与近似误差之间存在何种权衡？

主要发现

• 通过在 N-量子比特系统中对所有量子比特对应用随机化的受控相位门，以 O(N²) 个门实现了精确的对角酉 2-设计。
• 使用随机选择的量子比特对与受控-Z 门，可实现 ϵ-近似的对角酉 2-设计，门数最多为 O(N²(N + log 1/ϵ))。
• 随机对的选择引入了足够的额外随机性，可补偿因缺乏完全纠缠而带来的不足，从而实现有界误差的近似。
• 当与量子线路输出结合时，生成精确 2-设计的协议仅需 O(N) 个经典随机比特。
• 该构造表明，仅由少数量子比特对角门组成的线路无法实现对角酉 2-设计，必须引入如受控相位门等纠缠门。
• 理论框架确认，在特定门应用模式下，具有随机相位的对角酉矩阵集合确实构成 2-设计。