[论文解读] Differential Characters on Orbifolds and String Connections I

Ernesto Lupercio, Bernardo Uribe|ArXiv.org|Nov 2, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文在全局商轨道丛 $[M/G]$ 上建立了切赫-西蒙斯上同调与贝利诺夫-德利涅上同调之间的同构，将微分特征理论推广至轨道丛。通过从一个全局 gerbe 与联络构造轨道丛的环路群胚上的弦联络，精化了相关的微分特征，并将塞加尔的框架扩展至轨道丛设定。

ABSTRACT

In this paper we introduce the Cheeger-Simons cohomology of a global quotient orbifold. We prove that the Cheeger-Simons cohomology of the orbifold is isomorphic to its Beilinson-Deligne cohomology. Furthermore we construct a string connection (à la Segal) from a global gerbe with connection over the loop orbifold, refining the corresponding differential character.

研究动机与目标

• 为轨道丛，特别是全局商轨道丛 $[M/G]$，定义并研究微分特征，将切赫-西蒙斯理论从流形推广。
• 在这些轨道丛上建立切赫-西蒙斯上同调与贝利诺夫-德利涅上同调之间的同构，推广光滑流形上的经典结果。
• 从轨道丛上的全局 gerbe 与联络构造其环路群胚上的弦联络，精化与该 gerbe 关联的微分特征。
• 通过从 gerbe 与联络的传导，将塞加尔的弦联络概念扩展至轨道丛设定。
• 通过高阶规范理论与上同调结构，为轨道丛弦理论中的 $B$-场与离散扭量提供理解框架。

提出的方法

• 通过推广流形情形，利用等变结构与群胚作用，定义轨道丛 $[M/G]$ 上的切赫-西蒙斯上同调。
• 通过 $(q-2)$-gerbe 与联络的holonomy构造微分特征，推广2度情形下的线丛holonomy。
• 利用环路群胚的群胚结构，通过传导将 $[M/G]$ 上的 gerbe 与联络提升为环路群胚 $\mathcal{L}[M/G]$ 上的线丛与联络。
• 通过涉及连接2-形式 $B$ 在具有边界的曲面 $P$ 上积分的holonomy泛函，定义传递线丛上的弦联络 $\mathcal{U}$。
• 利用斯托克斯定理与连接形式的等变性，确保弦联络 $\mathcal{U}$ 与环路群胚上的 $G$-作用相容。
• 验证弦联络 $\mathcal{U}$ 与环路群胚上已有的联络 $\Delta$ 及粘合数据 $F$ 相容，从而在环路群胚上构成一个良定义的贝利诺夫-德利涅上链。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将微分特征推广至轨道丛，特别是全局商轨道丛 $[M/G]$ 的设定？
• RQ2 轨道丛上是否存在切赫-西蒙斯上同调与贝利诺夫-德利涅上同调之间的典范同构，如同在光滑流形上所存在的那样？
• RQ3 能否从轨道丛上的全局 gerbe 与联络构造出塞加尔意义下的弦联络？
• RQ4 环路群胚上的弦联络如何精化与 gerbe 关联的微分特征？
• RQ5 $G$-作用与等变性在定义环路群胚上一致的holonomy 与联络结构中起什么作用？

主要发现

• 轨道丛 $[M/G]$ 的切赫-西蒙斯上同调与贝利诺夫-德利涅上同调之间存在典范同构，推广了流形情形下的经典结果。
• $[M/G]$ 上的全局 gerbe 与联络通过传导，诱导出环路群胚 $\mathcal{L}[M/G]$ 上的线丛与联络。
• 该 gerbe 与联络在传递线丛上诱导出一个弦联络 $\mathcal{U}$，其定义为 $\mathcal{U}_{\Phi} = \exp\left(\frac{\sqrt{-1}}{|\Gamma|}\int_P \Phi^*B\right)$，其中 $P$ 是黎曼曲面上的 $\Gamma$-主丛。
• 通过斯托克斯定理与连接1-形式的等变性，验证了弦联络 $\mathcal{U}$ 与环路群胚上的 $G$-作用相容。
• 弦联络 $\mathcal{U}$ 与环路群胚上已有的联络 $\Delta$ 及粘合数据 $F$ 相容，构成环路群胚上良定义的贝利诺夫-德利涅上链。
• 该构造将塞加尔的弦联络推广至轨道丛，并提供了一个精化的holonomy结构，同时编码了 gerbe 的曲率与holonomy 数据。