[论文解读] Diffusion Approximations for Expert Opinions in a Financial Market with Gaussian Drift

Jörn Saß, Dorothee Westphal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文为具有不可观测的高斯漂移的金融市场的滤波器开发了扩散近似，结合了高频专家意见，且其准确性随频率增加而降低。证明了在适当的缩放下，离散的专家意见会收敛到连续时间的扩散过程，从而通过渐近滤波理论简化投资组合优化问题的求解。

ABSTRACT

This paper investigates a financial market where returns depend on an unobservable Gaussian drift process. While the observation of returns yields information about the underlying drift, we also incorporate discrete-time expert opinions as an external source of information. For estimating the hidden drift it is crucial to consider the conditional distribution of the drift given the available observations, the so-called filter. For an investor observing both the return process and the discrete-time expert opinions, we investigate in detail the asymptotic behavior of the filter as the frequency of the arrival of expert opinions tends to infinity. In our setting, a higher frequency of expert opinions comes at the cost of accuracy, meaning that as the frequency of expert opinions increases, the variance of expert opinions becomes larger. We consider a model where information dates are deterministic and equidistant and another model where the information dates arrive randomly as the jump times of a Poisson process. In both cases we derive limit theorems stating that the information obtained from observing the discrete-time expert opinions is asymptotically the same as that from observing a certain diffusion process which can be interpreted as a continuous-time expert. We use our limit theorems to derive so-called diffusion approximations of the filter for high-frequency discrete-time expert opinions. These diffusion approximations are extremely helpful for deriving simplified approximate solutions of utility maximization problems.

研究动机与目标

• 建立一个资产收益依赖于不可观测的高斯漂移过程的金融市场模型。
• 将离散时间的专家意见作为外部信息源引入，其准确性随频率增加而降低。
• 分析当专家意见频率趋于无穷大时，滤波器的渐近行为。
• 推导滤波器的扩散近似，以简化在部分信息下的效用最大化问题。
• 建立极限定理，证明离散专家信息在高频频率先收敛到连续时间的扩散过程。

提出的方法

• 将隐藏漂移建模为具有高斯噪声的均值回归的Ornstein–Uhlenbeck过程。
• 将专家意见作为无偏、零均值的高斯估计，以离散时间点到达。
• 假设随着意见频率的增加，每次意见的方差随频率线性增长，反映个体准确性的下降。
• 分析两种模型：确定性的等距信息到达时间与泊松分布的到达时间。
• 应用极限定理，证明滤波器的条件均值和协方差在L^p范数下收敛到连续时间扩散过程的对应量。
• 使用随机微分和Gronwall引理，证明在适当缩放下，滤波器条件均值与协方差的L^p收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当专家意见以越来越高的频率到达时，滤波器的渐近行为如何？
• RQ2 当专家意见频繁但准确性降低时，隐藏漂移的条件均值与协方差的极限行为是什么？
• RQ3 在高频极限下，离散专家意见能否被连续时间扩散过程近似？
• RQ4 专家意见的频率与准确性之间的权衡如何影响滤波器的质量？
• RQ5 滤波器收敛到扩散过程的条件是什么，以及收敛速率如何？

主要发现

• 当专家意见频率趋于无穷大时，滤波器的条件均值与协方差矩阵在L^p范数下收敛到连续时间扩散过程的对应量。
• 对于确定性与泊松分布的信息到达时间，极限过程在高频极限下捕捉到与离散专家意见相同的全部信息。
• 滤波器条件均值与协方差的收敛速度为O(1/√λ)，其中λ为专家意见的到达率。
• 扩散近似使得在部分信息下复杂效用最大化问题能够获得简化且近似的解。
• 极限过程可解释为连续时间专家以恒定速率持续提供带有噪声的信息，其漂移与收益过程保持一致。
• 在每次专家意见的方差随频率线性增长的缩放条件下，结果成立，确保了非退化的渐近行为。