[论文解读] Dimensions and spectral triples for fractals in R^N

Daniele Guido, Tommaso Isola|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 11

一句话总结

本文为 ℝ^N 中的极限分形构造了两个谱三元组，证明其非交换 Hausdorff 维数与切向维数与经典对应物一致。对于平移分形，由奇异迹导出的非交换测度与极限测度一致，且与广义极限过程无关；而非交换距离则与欧氏距离为双Lipschitz等价。

ABSTRACT

Two spectral triples are introduced for a class of fractals in R^n. The definitions of noncommutative Hausdorff dimension and noncommutative tangential dimensions, as well as the corresponding Hausdorff and Hausdorff-Besicovitch functionals considered in math.OA/0202108, are studied for the mentioned fractals endowed with these spectral triples, showing in many cases their correspondence with classical objects. In particular, for any limit fractal, the Hausdorff-Besicovitch functionals do not depend on the generalized limit procedure.

研究动机与目标

• 通过谱三元组将非交换几何扩展至 ℝ^N 中的分形。
• 为极限分形定义并计算非交换 Hausdorff 维数与切向维数。
• 研究由奇异迹导出的非交换测度是否与经典极限测度一致。
• 将谱三元组诱导的非交换距离与分形上的欧氏距离及测地距离进行比较。
• 建立非交换距离与欧氏距离在拓扑上等价的条件。

提出的方法

• 构造两个谱三元组：一个基于有限个祖先对的所有后代，另一个基于生成相似变换下的父子对。
• 利用狄拉克算子的模的逆来定义可迹性指数，从而导出奇异迹 τω。
• 应用 Riesz 表示定理，从这些迹获得测度，将其与非交换泛函联系起来。
• 将极限分形定义为由收缩映射序列生成的紧集的 Hausdorff 极限。
• 通过广义极限过程 ω 引入极限测度 μα，并证明其在平移分形中对 ω 的不变性。
• 证明谱三元组诱导的非交换距离 d 在测地距离与欧氏距离为双Lipschitz时，与欧氏距离为双Lipschitz等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过谱三元组定义的非交换 Hausdorff 维数与切向维数是否与 ℝ^N 中极限分形的经典分形维数一致？
• RQ2 对于平移分形，由奇异迹 τω 导出的非交换测度是否与经典极限测度 μα 一致？
• RQ3 谱三元组诱导的非交换距离在拓扑上是否与欧氏距离等价？
• RQ4 在何种条件下，非交换距离与分形上的测地距离为双Lipschitz等价？
• RQ5 非交换测度对广义极限 ω 的独立性是否在平移分形之外也成立？

主要发现

• 对于平移分形，由谱三元组导出的非交换 Hausdorff 维数与切向维数与其在 [9,10] 中计算的经典对应物一致。
• 由奇异迹 τω 导出的非交换测度与广义极限 ω 无关，且在平移分形中与经典极限测度 μα 一致。
• 对于父子谱三元组，任意可迹性指数 α 对应的测度与任意极限分形的极限测度 μα 一致。
• 非交换距离 d 在分形上始终与欧氏距离拓扑等价。
• 从具有测地距离的分形到具有非交换距离的分形的恒等映射为Lipschitz，因此当测地距离与欧氏距离为双Lipschitz时，该映射为双Lipschitz等价。
• 在 Sierpinski 四面体、地毯、Vicsek 集及 Lindstrom 雪花分形中，测地距离与欧氏距离为双Lipschitz，因此非交换距离也与两者双Lipschitz等价。