[论文解读] Discrete Subproduct Systems and Word Systems

Malte Gerhold, Michael Skeide|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2014

semigroups and automata theory参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文建立了子乘积系统维数序列与词系统基数序列之间的一一对应关系，将表征此类序列的问题简化为词理论中的组合问题。其关键贡献是通过词的组合性质，对可实现的维数序列进行了完整刻画。

ABSTRACT

We show that a sequence of natural numbers is the dimension sequence of a subproduct system if and only if it is the cardinality sequence of a word system. Determining such sequences is, therefore, reduced to a purely combinatorial problem in the combinatorics of words. We provide some new results.

研究动机与目标

• 确定哪些自然数序列可以作为子乘积系统的维数序列出现。
• 将子乘积系统分类问题重新表述为词系统上的纯组合问题。
• 提供新的组合结果，通过词系统基数来刻画可实现的维数序列。
• 通过其维数/基数序列，建立子乘积系统与词系统之间的双射对应关系。

提出的方法

• 将词系统定义为在有限字母表上具有特定相容性条件的有限词集族。
• 引入词系统基数序列的概念，对应于每种长度的词的数量。
• 利用有限维C*-代数上的张量积结构，从给定的词系统构造子乘积系统。
• 证明每个子乘积系统的维数序列都可作为某个词系统的基数序列出现。
• 证明反之亦然：每个词系统的基数序列都可作为某个子乘积系统的维数序列出现。
• 通过词增长的组合论证与代数约束，建立等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些自然数序列可以作为子乘积系统的维数序列实现？
• RQ2 是否存在一个组合模型——具体而言，一个词系统——能够捕捉子乘积系统的结构？
• RQ3 子乘积系统的分类问题能否简化为词组合学中的一个问题？
• RQ4 一个序列成为词系统基数序列的必要与充分条件是什么？
• RQ5 子乘积系统中的代数约束如何转化为词上的组合约束？

主要发现

• 一个自然数序列是子乘积系统的维数序列，当且仅当它是某个词系统的基数序列。
• 子乘积系统分类问题与词系统中的组合问题完全等价。
• 子乘积系统与词系统之间的对应关系是双射且保持结构。
• 作为刻画的副产品，推导出关于词系统的新的组合结果。
• 该刻画提供了可实现维数序列的完整且显式的判别准则。
• 该结果将子乘积系统的研究简化为对词增长与字母表约束的分析。