[论文解读] Discriminants of morphisms of sheaves

Helge Øystein Maakestad|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文通過格拉斯曼簇丛、tautological序列和投影，引入了局部自由层态射的統一幾何定義，推廣了多項式、概形態射和線性系統的經典判別式。主要貢獻是證明了旗流形上任意線性系統的判別式都是不可約的。

ABSTRACT

The aim of this paper is to give a unified definition of a large class of discriminants arising in algebraic geometry using the discriminant of a morphism of locally free sheaves. The discriminant of a morphism of locally free sheaves has a geometric definition in terms of grassmannian bundles, tautological sequences and projections and is a simultaneous generalization of the discriminant of a morphism of schemes, the discriminant of a linear system on a smooth projective scheme and the classical discriminant of degree $d$ polynomials. We study the discriminant of a morphism in various situations: The discriminant of a finite morphism of schemes, the discriminant of a linear system on the projective line and the discriminant of a linear system on a flag variety. The main result of the paper is that the discrimiant of any linear system on any flag variety is irreducible.

研究动机与目标

• 為任意概形上局部自由層態射提供一個函子性、內在的判別式定義，統一代數幾何中分散的概念。
• 將多項式的經典判別式、概形態射的判別式以及光滑射影概形上線性系統的判別式整合到同一框架中。
• 研究判別式的幾何與上同調結構，特別是在射影空間和旗流形的背景下。
• 利用 jet 丛與泰勒態射，構造射影空間上線性系統第 k 級判別式的理想層的候選解析。
• 證明旗流形上線性系統判別式的不可約性，這是本文的核心結果。

提出的方法

• 透過相關的格拉斯曼簇丛 G_n(u*E*) 和 tautological 序列，定義局部自由層態射 φ: u*E → F 的判別式。
• 利用投影 π: G_n(u*E*) → X 和對偶態射的余核的對偶，透過行列式構造將判別式定義為閉子概形。
• 應用泰勒態射與 jet 丛理論，分析 P^1 上的 k 級判別式 D^k(O(d))，證明其為局部完備交。
• 利用 jet 丛外層的上同調群的 SL(V)-模結構，描述判別式的整體結構。
• 利用泰勒映射 T^k 在旗流形上的滿射性，透過推論 2.6 對對偶態射的余核，推導出 D^k(L) 的不可約性。
• 從 jet 丛及其外層的層的雙複形出發，構造全複形，以探索判別式理想層的可能解析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否有一個單一的、幾何的、函子性的定義，統一多項式的經典判別式、概形態射的判別式，以及光滑射影概形上線性系統的判別式？
• RQ2 P^1 上的第 k 級判別式 D^k(O(d)) 的結構為何？能否被實現為局部完備交？
• RQ3 如何利用 jet 丛與泰勒態射，構造射影空間上線性系統判別式理想層的候選解析？
• RQ4 射影空間上 jet 丛外層的上同調結構為何？其與 SL(V)-模分解有何關係？
• RQ5 旗流形上線性系統的判別式是否不可約？在何種條件下可確保此性質？

主要发现

• 在擬緊、不可約概形 X 上，若 Coker(φ*) 局部自由，則任意局部自由層態射 φ: u*E → F 的判別式不可約，此結果由推論 2.6 建立。
• 在 P^1 上，對所有 1 ≤ k ≤ d，第 k 級判別式 D^k(O(d)) 為不可約的局部完備交，此結果由定理 4.5 證明。
• 在旗流形 G/P 上，線性系統 L 的判別式 D^k(L) 對所有 1 ≤ k ≤ min{l_i + 1} 均不可約，此結果由定理 5.13 建立。
• 定理 5.2 給出了射影空間上 jet 丛外層所有高階上同調群的 SL(V)-模結構的完整描述。
• 定理 5.10 計算了具有 SL(V)-線性化的某類扭 jet 丛的高階直接像。
• 基於泰勒態射與 jet 丛結構，例 5.11 提出了一個局部自由層的複形，作為 P(V*) 上 D^k(O(d)) 理想層的解析候選。