[论文解读] Double Yangians of classical types and their vertex representations

Naihuan Jing, Ming Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2018

Algebraic structures and combinatorial models被引用 6

一句话总结

本文通过生成元矩阵的高斯分解，使用 Drinfeld 表示法，为 B_n、C_n 和 D_n 型经典李代数引入了双杨代数 $DY(g_N)$。它显式构造了非单连通类型在等级 1 的玻色化实现，为这些量子代数提供了显式的顶点算符表示。

ABSTRACT

The Yangian double $DY(g_N)$ is introduced for the classical types of $g_N=so_{2n+1}$, $sp_{2n}$, $so_{2n}$. Via Gauss decomposition of the generator matrix, the Yangian double is given the Drinfeld presentation. In addition, bosonization of level $1$ realizations for the Yangian double $DY(g_N)$ of non-simply-laced types are explicitly constructed.

研究动机与目标

• 为 B_n、C_n 和 D_n 型经典李代数定义双杨代数 $DY(g_N)$。
• 使用生成元矩阵的高斯分解，提供双杨代数的 Drinfeld 表示。
• 为非单连通类型（B_n 和 C_n）显式构造等级 1 的玻色化实现。
• 将顶点表示理论扩展至非单连通经典类型的双杨代数。
• 通过玻色化建立非单连通情形下等级 1 顶点算符的框架。

提出的方法

• 通过 Drinfeld 表示法为 $g_N = so_{2n+1}$、$sp_{2n}$、$so_{2n}$ 类型的双杨代数 $DY(g_N)$ 建立定义。
• 对生成元矩阵应用高斯分解，推导 $DY(g_N)$ 的代数结构。
• 采用玻色化技术，实现非单连通类型下 $DY(g_N)$ 的等级 1 表示。
• 从自由玻色场构造显式的顶点算符，以实现 $DY(g_N)$ 的代数关系。
• 以 Drinfeld-Jimbo 表示为基础，构建等级 1 实现。
• 建立双杨代数生成元与自由玻色场双线性组合之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地为 B_n、C_n 和 D_n 型经典李代数定义双杨代数？
• RQ2 双杨代数 $DY(g_N)$ 的结构如何通过高斯分解和 Drinfeld 表示来描述？
• RQ3 能否通过玻色化显式构造非单连通类型在等级 1 的顶点表示？
• RQ4 对于 $g_N = so_{2n+1}$ 和 $sp_{2n}$，$DY(g_N)$ 在等级 1 的显式顶点算符形式是什么？
• RQ5 玻色化实现如何反映非单连通情形下底层李代数的结构？

主要发现

• 通过 Drinfeld 表示法，成功地为 B_n、C_n 和 D_n 型经典李代数定义了双杨代数 $DY(g_N)$。
• 生成元矩阵的高斯分解为 $DY(g_N)$ 的代数结构提供了系统化的呈现方式。
• 为非单连通类型 B_n 和 C_n 显式构造了等级 1 的玻色化实现。
• 顶点表示通过自由玻色场实现，其生成元以双线性形式表达。
• 该构造在等级 1 下建立了 $DY(g_N)$ 的一致顶点算子代数结构。
• 该方法为非单连通类型提供了双杨代数的明确实现，扩展了此前对单连通情形的结果。