[论文解读] Dynamic Matching: Reducing Integral Algorithms to Approximately-Maximal Fractional Algorithms

Moab Arar, Shiri Chechik+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 42被引用 9

一句话总结

本文提出了一种随机化归约方法，可将全动态近似最大分数匹配算法转化为具有亚对数最坏情况更新时间的全动态整数匹配算法。通过将该归约应用于 Bhattacharya 等人（SODA 2017）的分数匹配算法，作者实现了首个针对任意常数 ǫ > 0 的 (2+ǫ)-近似整数匹配算法，其最坏情况更新时间为 O(log³n)，标志着在常数近似比下实现亚多项式更新时间的动态匹配研究中取得突破性进展。

ABSTRACT

We present a simple randomized reduction from fully-dynamic integral matching algorithms to fully-dynamic "approximately-maximal" fractional matching algorithms. Applying this reduction to the recent fractional matching algorithm of Bhattacharya, Henzinger, and Nanongkai (SODA 2017), we obtain a novel result for the integral problem. Specifically, our main result is a randomized fully-dynamic $(2+ε)$-approximate integral matching algorithm with small polylog worst-case update time. For the $(2+ε)$-approximation regime only a \emph{fractional} fully-dynamic $(2+ε)$-matching algorithm with worst-case polylog update time was previously known, due to Bhattacharya et al.~(SODA 2017). Our algorithm is the first algorithm that maintains approximate matchings with worst-case update time better than polynomial, for any constant approximation ratio. As a consequence, we also obtain the first constant-approximate worst-case polylogarithmic update time maximum weight matching algorithm.

研究动机与目标

• 填补全动态整数匹配算法在常数近似比下具有亚对数最坏情况更新时间的空白。
• 通过实现高效的归约，弥合分数匹配与整数匹配在理论与实践之间的鸿沟。
• 实现常数近似最大匹配的亚多项式最坏情况更新时间，解决长期存在的开放问题。
• 将结果扩展至最大权匹配，从而首次获得具有亚对数最坏情况更新时间的常数近似算法。
• 提供一个通用框架，将近似最大化的分数匹配算法转化为具有有界近似比和高效更新时间的整数匹配算法。

提出的方法

• 提出一种从全动态整数匹配到近似最大分数匹配的随机化归约。
• 利用 Bhattacharya 等人（SODA 2017）的全动态分数匹配算法，该算法维护一个 (1+2ǫ, max{54 log n/ǫ³, (3/ǫ)²¹})-近似最大化的分数匹配。
• 通过归约将分数解转化为整数 (2+ǫ)-近似匹配，同时保持亚对数最坏情况更新时间。
• 通过一种“良好划分”结构动态维护边权和顶点状态，确保权值更新的链式反应受到限制。
• 通过每轮更新中有限次调用 FIX-DIRTY-NODE，控制边权变化，每次调用最多影响一条边的权值。
• 证明每轮更新中边权变化次数为 O(log n/ǫ²)，最坏情况更新时间为 O(log³n/ǫ⁷)，从而支持高效实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意常数近似比构造一个具有亚对数最坏情况更新时间的全动态整数匹配算法？
• RQ2 是否可以将维护近似整数匹配的问题归约为维护近似最大分数匹配的问题？
• RQ3 此类归约的最坏情况更新时间开销是多少？能否保持亚多项式更新时间？
• RQ4 该方法能否扩展至最大权匹配，从而首次获得具有亚对数最坏情况更新时间的常数近似最大权匹配算法？
• RQ5 在分数算法中，每轮更新的边权变化次数是多少？能否将其有界以确保高效实现？

主要发现

• 本文首次实现了针对任意常数 ǫ > 0 的 (2+ǫ)-近似全动态整数匹配算法，其最坏情况更新时间为 O(log³n)。
• 该归约框架可将任意近似最大分数匹配算法转化为具有相同更新时间界限的整数匹配算法。
• 每轮更新中边权变化次数被限制在 O(log n/ǫ²) 以内，确保归约过程的开销较低。
• 所得整数匹配算法的最坏情况更新时间为 O(log³n/ǫ⁷)，对常数 ǫ 而言为亚对数时间。
• 该方法首次实现了具有亚对数最坏情况更新时间的常数近似最大权匹配算法。
• 该成果填补了动态匹配领域长期存在的空白，因为此前具有亚对数更新时间的算法仅限于分数匹配或均摊时间界限。