[论文解读] Popular conjectures imply strong lower bounds for dynamic problems

Amir Abboud, Virginia Vassilevska Williams|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 92被引用 45

一句话总结

本文通过将动态图和数据结构问题的复杂性与精细复杂性理论中的五个主要猜想联系起来，为广泛范围的动态图和数据结构问题建立了强有力的条件下界。它表明，任何在单源可达性、二分匹配或强连通分量等问题上对动态算法的显著改进，都会在广泛接受的猜想下，导致3SUM、APSP或SAT等长期悬而未决问题的突破性进展。

ABSTRACT

We consider several well-studied problems in dynamic algorithms and prove that sufficient progress on any of them would imply a breakthrough on one of five major open problems in the theory of algorithms: 1. Is the 3SUM problem on $n$ numbers in $O(n^{2-ε})$ time for some $ε>0$? 2. Can one determine the satisfiability of a CNF formula on $n$ variables in $O((2-ε)^n poly n)$ time for some $ε>0$? 3. Is the All Pairs Shortest Paths problem for graphs on $n$ vertices in $O(n^{3-ε})$ time for some $ε>0$? 4. Is there a linear time algorithm that detects whether a given graph contains a triangle? 5. Is there an $O(n^{3-ε})$ time combinatorial algorithm for $n imes n$ Boolean matrix multiplication? The problems we consider include dynamic versions of bipartite perfect matching, bipartite maximum weight matching, single source reachability, single source shortest paths, strong connectivity, subgraph connectivity, diameter approximation and some nongraph problems such as Pagh's problem defined in a recent paper by Patrascu [STOC 2010].

研究动机与目标

• 基于精细复杂性中的知名猜想，为动态图和数据结构问题建立条件下的界。
• 证明在关键动态问题上的进展将导致3SUM、APSP和布尔矩阵乘法等基础算法问题的重大进展。
• 通过将动态问题与多个核心猜想（包括SETH和强指数时间假设）关联，统一并扩展先前的条件下的界结果。
• 表明即使随机化完全动态算法也无法在不否定广泛接受的猜想的前提下，实现显著更优的更新或查询时间。
• 将结果扩展到部分动态设置（增量和减量），且更新复杂度仅增加对数级开销。

提出的方法

• 通过组合构造和图变换，将已知难题（如三角形检测、子图连通性）约化为动态问题。
• 采用基于五个关键猜想的条件下的界框架：3SUM、APSP、SETH、三角形检测和组合布尔矩阵乘法。
• 使用参数化分析，参数 α ∈ [1/6, 1/3]，推导更新时间、查询时间和预处理时间之间的权衡。
• 应用一种约化技术，通过仅增加对数级开销的增量或减量更新，模拟动态操作，从而实现对部分动态算法的结果。
• 利用静态问题（如3SUM、三角形检测）的已知下界，通过模拟和约化推导出动态对应问题的下界。
• 采用基于引理的方法（如引理10.4、10.5），在每个猜想下形式化更新、查询和预处理时间之间的权衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不否定3SUM猜想的前提下，单源可达性的动态算法能否实现亚多项式更新或查询时间？
• RQ2 对于二分匹配的快速动态算法，是否意味着图中三角形检测的算法会更快？
• RQ3 在不与APSP猜想矛盾的前提下，强连通分量的完全动态算法能否显著快于每次更新 O(n^1.5)？
• RQ4 是否存在一种动态算法，可在每次更新时近乎线性时间内解决子图连通性问题，而不会否定3SUM猜想？
• RQ5 对于Pagh问题的线性时间动态算法，是否意味着布尔矩阵乘法或SAT的突破？

主要发现

• 任何完全动态算法，若其单源可达性的更新时间 o(m^α) 且查询时间 o(m^(2/3−α))，其中 α ∈ [1/6, 1/3]，将否定3SUM猜想。
• 对于动态二分完美匹配，同样的权衡适用：亚多项式改进将与3SUM猜想矛盾。
• 若强连通分量的动态算法具有更新时间 o(m^α) 和查询时间 o(m^(2/3−α))，其中 α ∈ [1/6, 1/3]，也将否定3SUM猜想。
• 相同的下界对部分动态算法（增量和减量）也成立，仅在更新复杂度中增加对数级开销。
• 结果可扩展至直径近似和Pagh问题，表明在这些问题上的进展将导致3SUM或三角形检测的突破。
• 本文首次建立了强指数时间假设（SETH）与动态算法之间的联系，表明某些问题的快速动态算法将意味着更快的SAT算法。