[论文解读] Dynamics of the Teichmueller flow on compact invariant sets

Ursula Hamenstaedt|arXiv (Cornell University)|May 25, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文证明了在面积为一的二次微分模空间的紧致不变子集上，Teichmüller 流是扩张的，并将周期轨道的渐近增长速率与流的拓扑熵联系起来。关键结果是：在所有紧致不变集上，该增长速率的上确界等于 $6g - 6 + 2m$，与唯一不变的勒贝格测度的度量熵一致。

ABSTRACT

Let Q(S) be the moduli space of area one holomorphic quadratic differentials for an oriented surface S of genus g with m punctures and 3g-3+m>1. We show that the supremum over all compact subsets K of Q(S) of the asymptotic growth rate of the number of periodic orbits of the Teichmueller flow which are contained in K equals h=6g-6+2m. Moreover, h is also the supremum of the topological entropies of the restriction of the Teichmueller flow to compact invariant subsets of Q(S).

研究动机与目标

• 理解面积为一的二次微分模空间的紧致不变子集上 Teichmüller 流的动力学行为。
• 将此类集合中周期轨道的渐近增长速率与流的拓扑熵联系起来。
• 建立该增长速率在所有紧致不变集上的上确界等于 $6g - 6 + 2m$，即不变勒贝格测度的度量熵。
• 证明 Teichmüller 流在商空间 $\hat{\cal Q}(S) = {\cal Q}^1(S)/\Gamma$ 的紧致不变子集上是扩张的，其中 $\Gamma < {\rm Mod}(S)$ 是有限指数的无扭正规子群。
• 证明任意紧致不变集上流的拓扑熵受该集合邻域内周期轨道数量的对数增长速率的控制。

提出的方法

• 利用曲线图 $\mathcal{C}(S)$ 及其拟等距性质，分析 Teichmüller 空间几何与 Teichmüller 流的动力学。
• 对紧致不变集上的 Teichmüller 流应用 Anosov 闭合引理，利用曲线图中轨道投影的拟测地线性质。
• 利用周期轨道对应于映射类群 ${{\rm Mod}}(S)$ 中伪阿诺索夫元素的共轭类这一事实，并通过与紧致集的有界交集来控制共轭。
• 应用变分原理，将拓扑熵与不变测度的度量熵联系起来，并利用勒贝格类中唯一的最大熵测度。
• 构造一个伪阿诺索夫元素的半群 $\Lambda \subset {\rm Mod}(S)$，其轴通过 Teichmüller 空间中的一个固定紧致邻域，从而实现对轨道增长的统一控制。
• 利用在 Teichmüller 空间有界区域内给定元素的共轭数的有界性，推导出固定紧致集中周期轨道数的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 Teichmüller 流限制在紧致不变子集 $K$ 上时，周期轨道的渐近增长速率 $\delta(K)$ 是多少？
• RQ2 $\delta(K)$ 与流在 $K$ 上的拓扑熵 $h_{\rm top}(K)$ 有何关系？
• RQ3 在模空间的所有紧致不变子集上，$\delta(K)$ 的上确界是多少？
• RQ4 Teichmüller 流在 $\hat{\cal Q}(S)$ 的紧致不变子集上是否是扩张的，其中 $\hat{\cal Q}(S)$ 是 ${{\rm Mod}}(S)$ 的无扭正规子群（有限指数）的商？
• RQ5 能否证明：在固定紧致集内受限的周期轨道的增长速率的下界为 $e^{(h - \epsilon)r}/cr$，对任意 $\epsilon > 0$ 成立？

主要发现

• Teichmüller 流在 $\hat{\cal Q}(S)$ 的每个紧致不变子集上都是扩张的，确保周期轨道被分离，且动力学具有结构稳定性。
• 对任意紧致、拓扑传递的不变子集 $K \subset \hat{\cal Q}(S)$，有 $\limsup_{r\to\infty} \frac{1}{r}\log n_K(r) \leq h_{\rm top}(K) \leq \liminf_{r\to\infty} \frac{1}{r}\log n_U(r)$，其中 $U$ 是 $K$ 的任意邻域。
• 在 ${\cal Q}^1(S)/{\rm Mod}(S}$ 的所有紧致子集上，$\delta(K)$ 的上确界恰好为 $6g - 6 + 2m$，与唯一不变勒贝格测度的度量熵一致。
• 对任意 $\epsilon > 0$，存在一个紧致子集 $K \subset {\cal Q}^1(S)/{\rm Mod}(S)$，使得 $\liminf_{r\to\infty} \frac{1}{r}\log n_K(r) \geq h - \epsilon$，从而证明熵可作为上确界被实现。
• 对充分大的 $r$，固定紧致集 $C$ 中长度不超过 $r$ 的周期轨道数至少以 $e^{(h - \epsilon)r}/cr$ 的速率增长，其中 $c > 0$ 为某常数。
• 该结果可推广至 $\hat{\cal Q}(S)$，且 $\hat{\cal Q}(S)$ 上勒贝格测度的度量熵 $h$ 等于所有紧致不变子集上拓扑熵的上确界。