[论文解读] Edge-partitioning a graph into paths: beyond the Bar\'at-Thomassen conjecture
本文為 Barát-Thomassen 猜想的路径情形提出了一种新证明，表明每个性质为 24-边连通、最小度足够高且边数可被 ℓ 整除的图，均可分解为长度为 ℓ 的路径。该方法利用边连通性、稀疏树分解与欧拉回路构造，确保路径分解的实现；对于欧拉图，仅需 4-边连通性与高最小度即可实现相同结果。
The Bar\'at-Thomassen conjecture asserts that there is a function $f$ such that for every fixed tree $T$ with $t$ edges, every graph which is $f(t)$-edge-connected with its number of edges divisible by $t$ has a partition of its edges into copies of $T$. This has been proved in the case of paths of length $2^k$ by Thomassen, and recently shown to be true for all paths by Botler, Mota, Oshiro and Wakabayashi. Our goal in this paper is to propose an alternative proof of the path case with a weaker hypothesis: Namely, we prove that there is a function $f$ such that every $24$-edge-connected graph with minimum degree $f(t)$ has an edge-partition into paths of length $t$ whenever $t$ divides the number of edges. We also show that $24$ can be dropped to $4$ when the graph is eulerian.
研究动机与目标
- 以弱于先前证明的边连通性假设，解决 Barát-Thomassen 猜想的路径情形。
- 提出一种替代证明策略，减少对先前工作中所用概率方法的依赖。
- 探讨边连通性与最小度之间在实现路径分解时的权衡关系。
- 明确在最小度提高时，边连通性阈值可降低的条件。
- 证明：4-边连通欧拉图在最小度足够高时，可实现长度为 ℓ 的路径分解。
提出的方法
- 该证明构造一个 24-边连通图 G，并应用最大割，以分离出一个最小度高的 12-边连通子图 G′。
- 对 G′ 应用 6-弧强定向，从而提取出以同一顶点为根的六个弧不相交的出树。
- 利用剩余边的一部分，在割的两侧分别构建两个 1/2-稀疏的 (ℓ, 2ℓ)-路径树 T′ 和 T′′。
- 通过从 T′ 和 T′′ 中移除特定路径，调整顶点的度数奇偶性，使得每侧至多有一个顶点的度数为奇数。
- 由剩余边构成一个连通的 [ℓ, ℓ+3]-路径图 H，其冲突度量 conf(H) < 1/(2(ℓ + 10))。
- 通过定理 3.2 构造 H 中的欧拉回路，确保无冲突环，从而获得所需的路径分解。
实验结果
研究问题
- RQ1能否在与路径长度 ℓ 无关的常数边连通性界下证明 Barát-Thomassen 猜想的路径情形？
- RQ2提高最小度如何影响路径分解所需的边连通性？
- RQ3是否存在一种结构性方法，可确保低边连通性的欧拉图仍能实现路径分解？
- RQ4能否对路径图中的冲突度量 conf(H) 进行有界控制，以保证欧拉回路无冲突？
- RQ5高最小度条件的存在是否允许降低路径分解对边连通性的要求？
主要发现
- 每个 24-边连通图，若其最小度至少为 dℓ 且边数可被 ℓ 整除，则可分解为长度为 ℓ 的路径。
- 分解中可能需要额外一条长度至多为 ℓ 的路径，但仅需一条。
- 对于欧拉图，当最小度足够高时，4-边连通性已足够。
- 所构造路径图 H 的冲突度量 conf(H) 有界于 1/(2(ℓ + 10))，确保欧拉回路无冲突。
- 本文建立了 Barát-Thomassen 猜想路径情形的另一种证明，其方法与先前证明不同。
- 该证明表明边连通性可与路径长度 ℓ 解耦，且存在一个统一的常数上界 24。
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