[论文解读] Efficient quantum algorithms for stabilizer entropies

Tobias Haug, Soovin Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|May 30, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 17

一句话总结

本论文提出利用 Bell 测量的高效量子算法来测量整数 n>1 的稳定子熵（SEs），推导非稳定性单调量的界限，并展示 Pauli-平均的4n点 OTOCs 与多重分形扁度，在 IonQ 上有实验结果。

ABSTRACT

Stabilizer entropies (SEs) are measures of nonstabilizerness or `magic' that quantify the degree to which a state is described by stabilizers. SEs are especially interesting due to their connections to scrambling, localization and property testing. However, applications have been limited so far as previously known measurement protocols for SEs scale exponentially with the number of qubits. Here, we efficiently measure SEs for integer Rényi index $n>1$ via Bell measurements. The SE of $N$-qubit quantum states can be measured with $O(n)$ copies and $O(nN)$ classical computational time, where for even $n$ we additionally require the complex conjugate of the state. We provide efficient bounds of various nonstabilizerness monotones which are intractable to compute beyond a few qubits. Using the IonQ quantum computer, we measure SEs of random Clifford circuits doped with non-Clifford gates and give bounds for the stabilizer fidelity, stabilizer extent and robustness of magic. We provide efficient algorithms to measure Clifford-averaged $4n$-point out-of-time-order correlators and multifractal flatness. With these measures we study the scrambling time of doped Clifford circuits and random Hamiltonian evolution depending on nonstabilizerness. Counter-intuitively, random Hamiltonian evolution becomes less scrambled at long times which we reveal with the multifractal flatness. Our results open up the exploration of nonstabilizerness with quantum computers.

研究动机与目标

• 在量子态中测量非稳定性（magic）及其与扰乱、局域化和性质测试的相关性。
• 开发可扩展的协议，在 n>1 时评估稳定子熵，而不需要指数级资源。
• 给出非稳定性单调量的界限，并将 SEs 与其他资源度量相关联。
• 在量子硬件上展示实际实现，并将 SEs 与 OTOCs 和多重分形扁度联系起来。

提出的方法

• 将 A_n(ψ)=2^{-N}∑_{σ∈P}⟨ψ|σ|ψ⟩^{2n} 表示为一个 2n-拷贝的期望 ⟨ψ^{⊗2n}|Γ_n^{⊗N}|ψ^{⊗2n}⟩，其中 Γ_n=(1/2)∑_{k=0}^{3}(σ^k)^{⊗2n}。
• 通过 Bell 变换 U_Bell 对 Γ_n 进行对角化，以在两个 |ψ⟩ 的拷贝上实现 Bell 测量（奇数 n>1 的算法1；通常需要对偶数 n 的复共轭）。
• 给出算法2，使用 |ψ⟩ 与 |ψ^*⟩ 通过 Bell 基采样并进行 2n−2 个 Pauli 测量来测量 A_n，实现任意整数 n>1 的 n>1；需要获得复共轭或 U^* 的访问。
• 将 A_n 与 Pauli-平均的4n点 OTOCs 通过 OTOC_{4n}(U)=A_n(|U⟩) 以及使用 Choi 态形式将 SEs 与 OTOCs 联系起来。
• 从 A_n（及相关量）推导对魔力鲁棒性 R、稳定子量 ξ、以及稳定子保真度 F_STAB 的高效可计算界限。
• 引入 Tsallis 稳定子熵 T_n，并通过 M_n=(1−n)^{-1} ln(1+(1−n)T_n) 将它们与 Rényi SEs M_n 联系起来。
• 验证用于 Pauli-平均 OTOCs 和 SEs 上的多重分形扁度 F̄ 的测量协议，并讨论噪声设备的误差缓解策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在量子器件上通过 Bell 测量有效测量整数 n>1 的 SEs？
• RQ2 如何在奇数 n>1 以及对于所有 n>1 且获得复共轭访问的情况下高效估计 A_n？
• RQ3 可以从 SEs 推导出关于非稳定性单调量（R、ξ、F_STAB）的哪些界？
• RQ4 通过 Choi 态，4n 点 Pauli-平均 OTOCs 如何与 SEs 相连，且对于奇数 n，是否可以在不进行时间反演的情况下高效测量？
• RQ5 是否可以高效测量多重分形扁度 F̄，并将其与 SEs 关联起来，以刻画基态参与情况？

主要发现

• 高效协议（Bell测量）在整数 n>1 时测量稳定子熵，拷贝数规模为 O(nε^{-2})。
• 算法1 为奇数 n>1 提供 A_n 的无偏估计量，使用 2n 拷贝，但通过对两拷贝的 Bell 变换实现。
• 算法2 通过采样 Pauli 字符串并对 |ψ⟩进行 2n−2 次 Pauli 测量来测量任意整数 n>1 的 A_n（需要访问 |ψ^*⟩）。
• Pauli-平均的4n点 OTOCs 满足 OTOC_{4n}(U)=A_n(|U⟩)，使得在奇数 n 下无需逆时间演化即可高效估计 OTOC。
• 本文推导出界限 R≥ξ≥F_STAB^{-1}≥A_n^{−1/(2n)}（并有改进），以及 F_STAB 的下界/上界，基于 A_n 提供可行的估计，超越小系统。
• 在 IonQ 的实验演示表明 Tsallis SEs (T_3) 随非Clifford 含量增加且在误差缓解下对 F_STAB 和其他单调量给出有效界限。