[论文解读] Efficient Sequential and Parallel Algorithms for Multistage Stochastic Integer Programming Using Proximity

Jana Cslovjecsek, Friedrich Eisenbrand+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 16被引用 4

一句话总结

该论文提出了首个针对具有几乎线性时间复杂度的强模型下多阶段随机整数规划的固定参数可追踪（FPT）算法，基于原始树深度和∥A∥∞的新型接近性结果。该方法利用互补松弛性与递归分解，实现f(d, ∥A∥∞) · n log^O(2d) n的时间复杂度，其并行实现采用PRAM模型，使用n个处理器在log^O(2d) n时间内运行。

ABSTRACT

We consider the problem of solving integer programs of the form $\min \{\,c^\intercal x\ \colon\ Ax=b, x\geq 0\}$, where $A$ is a multistage stochastic matrix in the following sense: the primal treedepth of $A$ is bounded by a parameter $d$, which means that the columns of $A$ can be organized into a rooted forest of depth at most $d$ so that columns not bound by the ancestor/descendant relation in the forest do not have non-zero entries in the same row. We give an algorithm that solves this problem in fixed-parameter time $f(d,\|A\|_{\infty})\cdot n\log^{O(2^d)} n$, where $f$ is a computable function and $n$ is the number of rows of $A$. The algorithm works in the strong model, where the running time only measures unit arithmetic operations on the input numbers and does not depend on their bitlength. This is the first fpt algorithm for multistage stochastic integer programming to achieve almost linear running time in the strong sense. For the case of two-stage stochastic integer programs, our algorithm works in time $2^{(2\|A\|_\infty)^{O(r(r+s))}}\cdot n\log^{O(rs)} n$. The algorithm can be also parallelized: we give an implementation in the PRAM model that achieves running time $f(d,\|A\|_{\infty})\cdot \log^{O(2^d)} n$ using $n$ processors. The main conceptual ingredient in our algorithms is a new proximity result for multistage stochastic integer programs. We prove that if we consider an integer program $P$, say with a constraint matrix $A$, then for every optimum solution to the linear relaxation of $P$ there exists an optimum (integral) solution to $P$ that lies, in the $\ell_{\infty}$-norm, within distance bounded by a function of $\|A\|_{\infty}$ and the primal treedepth of $A$. On the way to achieve this result, we prove a generalization and considerable improvement of a structural result of Klein for multistage stochastic integer programs.

研究动机与目标

• 为具有有界原始树深度的多阶段随机整数规划开发高效顺序与并行算法。
• 在强计算模型下实现固定参数可追踪性，独立于输入的位长度。
• 建立最优整数解与线性松弛解之间新的接近性界限，参数化为原始树深度与∥A∥∞。
• 在多项式时间与参数依赖时间上均优于先前算法，尤其适用于两阶段问题。

提出的方法

• 提出新的接近性结果：对于任意最优线性松弛解，存在一个最优整数解，其ℓ∞-距离受∥A∥∞与原始树深度d的函数有界。
• 应用基于树深度的分支策略，由线性松弛解引导，利用接近性界限限制搜索空间。
• 利用互补松弛性识别紧约束，将问题简化为变量更少的子问题。
• 采用递归分解：若矩阵可分块分解，则并行求解子问题；否则，使用基于对偶的线性规划固定第一个变量。
• 通过减少线性规划的对偶解计算最优变量值，采用类似引理6.3的方法，使每层递归的时间复杂度为log^O(2d) n。
• 在PRAM模型中通过将子问题分配给处理器，并行执行递归层，实现并行化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计出在强模型下具有近似线性时间复杂度的多阶段随机整数规划FPT算法？
• RQ2 在多阶段随机规划中，最优整数解与最优线性松弛解之间存在何种结构关系？
• RQ3 能否在两阶段随机规划中，将参数r与s的依赖关系实现渐近改进？
• RQ4 能否在保持关于原始树深度与∥A∥∞的固定参数可追踪性的同时，实现几乎线性时间复杂度？
• RQ5 能否高效并行化该算法，使用线性数量的处理器实现多对数时间复杂度？

主要发现

• 该算法的时间复杂度为f(d, ∥A∥∞) · n log^O(2d) n，在强模型下对多阶段随机整数规划实现几乎线性时间复杂度。
• 对于两阶段随机规划，运行时间为2^(2∥A∥∞)^O(r(r+s)) · n log^O(rs) n，相较于先前方法在多项式与参数依赖性上均有改进。
• 接近性结果保证：任意最优线性松弛解附近，存在一个最优整数解，其ℓ∞-距离受∥A∥∞与原始树深度d的函数有界。
• 该算法可在PRAM模型中并行化，使用n个处理器在log^O(2d) n时间内运行，时间复杂度与顺序版本仅相差对数因子。
• 当r = 1时，在指数时间假设下，对s的依赖关系渐近紧致，确认该情形下的最优性。
• 该方法推广并改进了Klein针对多阶段随机整数规划的结构结果，实现了基于接近性的新型分支策略。