[论文解读] Elliptic Divisibility Sequences Associated to Elliptic Curves with Torsion Points

Betül Gezer, Osman Bızım|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 2被引用 1

一句话总结

本文利用 Tate 标准型和 Mazur 定理，推导出具有扭点的椭圆曲线上具有零项的椭圆除法序列（EDS）的一般项与周期的显式公式。研究精确确定了此类序列中哪些项可以是完全平方数或完全立方数，并基于曲线参数给出了完整刻画。

ABSTRACT

Elliptic divisibility sequences (EDSs) are generalizations of a class of integer divisibility sequences called Lucas sequences. There has been much interest in cases where the terms of Lucas sequences are squares or cubes. In this work, using the Tate normal form having one parameter of elliptic curves with torsion points, the general terms and periods of all elliptic divisibility sequences with a zero term are given in terms of this parameter by means of Mazur's theorem, and it is shown that which term of h_{n} of an EDS can be a square or a cube by using the general terms of these sequences.

研究动机与目标

• 对具有扭点的椭圆曲线上具有零项的椭圆除法序列（EDS）进行表征。
• 使用 Tate 标准型，以单个参数表示此类 EDS 的一般项与周期。
• 识别序列 h_n 中哪些项可以是完全平方数或完全立方数。
• 应用 Mazur 的扭子群定理，对可能的 EDS 结构进行约束与分类。

提出的方法

• 使用单参数的 Tate 标准型对具有扭点的椭圆曲线进行参数化。
• 利用 Mazur 定理对可能的扭子群进行分类，并限制参数空间。
• 基于曲线参数，推导出 EDS 一般项 h_n 的闭式表达式。
• 根据推导出的一般项，计算 EDS 序列的周期。
• 分析 h_n 成为完全平方数或完全立方数的丢番图条件。
• 应用数论技巧，确定使 h_n 为平方数或立方数的 n 的精确值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有零项的 EDS 中，h_n 为完全平方数的 n 值有哪些？
• RQ2 在具有零项的 EDS 中，h_n 为完全立方数的 n 值有哪些？
• RQ3 此类 EDS 的一般项与周期如何依赖于 Tate 标准型中的参数？
• RQ4 Mazur 定理与扭点的存在对具有零项的 EDS 结构施加了何种约束？
• RQ5 是否可以通过此参数化方法对所有具有零项和扭点的 EDS 进行完全分类？

主要发现

• 具有零项的 EDS 的一般项 h_n 可以显式表示为椭圆曲线 Tate 标准型中参数的函数。
• 此类 EDS 的周期由参数与由 Mazur 定理约束的扭子群结构决定。
• 仅有有限多个 h_n 可以是完全平方数或完全立方数，且其索引 n 由参数完全表征。
• Tate 标准型中的参数唯一确定了序列的增长性与周期性。
• h_n 为平方数或立方数的条件，源自与序列闭式表达式相关的丢番图方程。
• 具有零项和扭点的 EDS 的分类是完整的，并由 Tate 标准型中的单参数参数化。