[论文解读] Embedding of Coxeter groups in a product of trees

Alexander Dranishnikov, Viktor Schroeder|ArXiv.org|Feb 24, 2004

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 8

一句话总结

该论文证明，具有色数 $ n $ 的右角Coxeter群可等利普希茨嵌入到 $ n $ 棵局部有限树的积中，且其Cayley图在固定半径的每个球上均等距嵌入。关键贡献在于基于色数精确估计所需树的数量，并将其应用于双曲空间嵌入及指数分支树积的双曲秩计算。

ABSTRACT

We prove that a right angled Coxeter group with chromatic number n can be embedded in a bilipschitz way into the product of n locally finite trees. We give applications of this result to various embedding problems and determine the hyperbolic rank of products of exponentially branching trees.

研究动机与目标

• 确定将右角Coxeter群的Cayley图等利普希茨嵌入所需的最少树的数量。
• 建立定义图的色数与积中树因子数量之间的联系。
• 将嵌入结果应用于确定指数分支树积的双曲秩。
• 研究双曲空间 $ \mathbb{H}^n $ 是否可等利普希茨嵌入到 $ n $ 棵树的积中。
• 探讨此类嵌入是否可用有界度数的树实现，尽管此问题仍为开放问题。

提出的方法

• 以右角Coxeter群 $ \Gamma $ 的生成集 $ S $ 的色数 $ n $ 作为关键参数，确定树因子的数量。
• 构建Cayley图 $ C(\Gamma, S) $ 到 $ n $ 棵单纯树的 $ l^1 $-积的等变等距嵌入。
• 利用右角Coxeter群的删除法则与测地线结构，通过约化字定义群元素的规范标记。
• 为生成元 $ s \in S $ 定义镜像反射与半空间 $ H_s $，并利用到镜像的距离的等高线定义到树积的映射。
• 应用局部单射性论证（命题3.4）以确保映射在半径 $ r $ 的球上局部等距，并利用指数分支性将树积嵌入单棵指数分支树中。
• 结合Brady与Farb的结果，将嵌入从 $ \mathbb{H}^2 $ 扩展到更高维双曲空间 $ \mathbb{H}^n $。

实验结果

研究问题

• RQ1 色数为 $ n $ 的右角Coxeter群的Cayley图是否可嵌入到 $ n $ 棵树的积中，且畸变受控？
• RQ2 将右角Coxeter群的Cayley图等利普希茨嵌入所需的最少树的数量是多少？
• RQ3 $ n $ 棵指数分支树的积的双曲秩是否为 $ n-1 $，且能否通过群嵌入确定？
• RQ4 $ \mathbb{H}^n $ 是否可等利普希茨嵌入到 $ n $ 棵局部紧致树的积中，其与群的色数有何关联？
• RQ5 是否存在 $ \mathbb{H}^n $ 到单棵指数分支树的 $ 2(n-1) $ 重积的等利普希茨嵌入？

主要发现

• 色数为 $ n $ 的右角Coxeter群可等变等距嵌入到 $ n $ 棵单纯树的积中。
• Cayley图可等利普希茨嵌入到 $ n $ 棵局部紧致树的积中，且在每个固定半径 $ r $ 的球上嵌入为等距。
• 对任意指数分支树 $ T $，存在 $ \mathbb{H}^2 $ 到 $ T \times T $ 的等利普希茨嵌入，该嵌入由双曲Coxeter群的Cayley图扩展而来。
• 对 $ \mathbb{H}^n $，存在等利普希茨嵌入到单棵指数分支树 $ T $ 的 $ 2(n-1) $ 重积中，通过与Brady–Farb结果的复合实现。
• $ n $ 棵指数分支树的积的双曲秩恰好为 $ n-1 $，通过嵌入虚拟上同调维数为 $ n $ 的Gromov-双曲Coxeter群得以证明。
• 该构造给出了虚拟上同调维数为 $ n $ 的Gromov-双曲右角Coxeter群 $ \Gamma_n $ 到 $ T^n $ 的等利普希茨嵌入，从而确认了秩的上界。