[论文解读] Embeddings of moment-angle manifolds and sequences of Massey products

Victor Matveevich Buchstaber, Ivan Limonchenko|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文建立了一个交换五边形图，通过简单多面体中的面对嵌入，将 момента-угловые многообразия（moment-angle manifolds）与复形联系起来，证明了当且仅当由 момента-угловые многообразия 的诱导嵌入具有收缩时，一个简单多面体是旗多面体，此时诱导出一个分裂上同调满同态。作为关键应用，本文构造了无限多组旗多面体，其高阶 Massey 乘积的阶数无界增长，并证明了在 $\mathcal{Z}_{P^n}$ 中存在非平凡的 $k$-重 Massey 乘积，意味着在所有 $\mathcal{Z}_{P^l}$（$l > n$）中也存在此类乘积。该构造依赖于对旗多面体提出的新面对切割操作，生成了组合上互异的序列，其 Massey 乘积具有强连通性。

ABSTRACT

We show that for any face $F$ of a simple polytope $P$ the canonical equivariant homeomorphisms $h_P:\,\mathcal Z_P o\mathcal Z_{K_P}$ and $h_F:\,\mathcal Z_F o\mathcal Z_{K_F}$ are linked in a pentagonal commutative diagram with the maps of moment-angle manifolds and moment-angle-complexes, induced by a face embedding $i_{F,P}:\,F o P$ and a simplicial embedding $Φ_{F,P}:\,K_F o K_{F,P} o K_P$, where $K_{F,P}$ is the full subcomplex of $K_P$ on the same vertex set as $Φ_{F,P}(K_F)$. We introduce the explicit constructions of the maps $i_{F,P}$, $Φ_{F,P}$ and show that a polytope $P$ is flag if and only if the induced embedding $\hat{i}_{F,P}:\,\mathcal Z_{F} o\mathcal Z_P$ of moment-angle manifolds has a retraction and thus induces a split ring epimorphism in cohomology for any face $F\subset P$. As the applications of these results we obtain the sequences $\{P^n\}$ of flag simple polytopes such that there exists a nontrivial $k$-fold Massey product in $H^*(\mathcal Z_{P^n})$ with $k o\infty$ as $n o\infty$ and, moreover, the existence of a nontrivial $k$-fold Massey product in $H^*(\mathcal Z_{P^n})$ implies existence of a nontrivial $k$-fold Massey product in $H^*(\mathcal Z_{P^l})$ for any $l>n$.

研究动机与目标

• 建立一个通过面对和单纯形嵌入连接 момента-угловые многообразия 与复形的典范交换五边形图。
• 通过诱导 момента-угловые многообразия 嵌入中收缩的存在性来刻画旗多面体。
• 构造无限多组旗多面体，使得其 $k$-重 Massey 乘积非平凡，且当 $n \to \infty$ 时 $k \to \infty$。
• 证明在 $H^*(\mathcal{Z}_{P^n})$ 中存在非平凡 $k$-重 Massey 乘积，意味着在所有 $H^*(\mathcal{Z}_{P^l})$（$l > n$）中也存在此类乘积。
• 提出一种对旗多面体的新面对切割操作 $\operatorname{fc}$，其可生成组合上互异的序列，且具有强连通的 Massey 乘积。

提出的方法

• 定义典范等变同胚 $h_P: \mathcal{Z}_P \to \mathcal{Z}_{K_P}$ 和 $h_F: \mathcal{Z}_F \to \mathcal{Z}_{K_F}$，将 момента-угловые многообразия 与 момента-угловые комплексы 联系起来。
• 通过一个面对嵌入 $i_{F,P}: F \to P$ 构造单纯形嵌入 $\Phi_{F,P}: K_F \to K_P$，并定义 $K_{F,P} \subset K_P$ 为图像顶点集的全子复形。
• 证明映射 $\hat{i}_{F,P}: \mathcal{Z}_F \to \mathcal{Z}_P$ 与 $\hat{\Phi}_{F,P}: \mathcal{Z}_{K_F} \to \mathcal{Z}_{K_{F,P}}$ 与 $h_F$、$h_P$ 及收缩映射 $r: \mathcal{Z}_{K_P} \to \mathcal{Z}_{K_{F,P}}$ 构成一个交换五边形。
• 证明多面体 $P$ 是旗多面体当且仅当 $\Phi_{F,P}$ 诱导出同构 $K_F \cong K_{F,P}$，这蕴含 $\hat{i}_{F,P}$ 存在收缩。
• 引入面对切割操作 $\operatorname{fc}(P) = \operatorname{fc}^1(P)$，递归构造序列 $P^{n+1} = \operatorname{fc}(P^n)$，从一个旗基多面体 $F^r$ 出发。
• 利用收缩带来的上同调分裂，将非平凡 Massey 乘积从较小的多面体传播到序列中更大的多面体。

实验结果

研究问题

• RQ1 诱导嵌入 $\hat{i}_{F,P}: \mathcal{Z}_F \to \mathcal{Z}_P$ 的 момента-угловые многообразия 何时具有收缩？
• RQ2 简单多面体 $P$ 的组合结构如何与 $\mathcal{Z}_P$ 的上同调结构（特别是 Massey 乘积）相关联？
• RQ3 能否构造无限多组旗多面体，使得 $H^*(\mathcal{Z}_P)$ 中非平凡 Massey 乘积的阶数无界增长？
• RQ4 是否可以生成组合上互异的旗多面体序列，使得早期项中存在高阶 Massey 乘积，可推出其在后续项中也存在？
• RQ5 面对切割操作 $\operatorname{fc}$ 在生成此类序列并保持上同调性质方面起什么作用？

主要发现

• 当且仅当诱导嵌入 $\hat{i}_{F,P}: \mathcal{Z}_F \to \mathcal{Z}_P$ 的 момента-угловые многообразия 具有收缩时，简单多面体 $P$ 是旗多面体，此时诱导出上同调中的分裂环满同态。
• 面对切割操作 $\operatorname{fc}$ 生成一个旗多面体序列 $\{P^n\}$，使得 $Q^n$ 是 $Q^{n+1}$ 的一个面，其中 $Q^n$ 是文献 [10] 中引入的多面体。
• 对于序列 $\{Q^n\}$，在所有 $n \geq 2$ 时，$H^*(\mathcal{Z}_{Q^n})$ 中存在一个非平凡的 $n$-重 Massey 乘积，且每个 $\alpha_i$ 的度数为 3。
• 在 $H^*(\mathcal{Z}_{P^n})$ 中存在非平凡 $k$-重 Massey 乘积，意味着在所有 $H^*(\mathcal{Z}_{P^l})$（$l > n$）中也存在非平凡 $k$-重 Massey 乘积，从而确立了强连通的 Massey 乘积。
• 构造了一个无限族 $\mathcal{S} = \{\mathcal{P}_\alpha \mid \alpha \in I\}$ 的组合上互异的旗多面体序列，其具有强连通的 Massey 乘积，利用二进制序列定义了不同的增长模式。
• 构造了一个无限族 $\{\mathcal{P}_k\}$ 的不可约旗多面体，使得对任意 $k \geq 1$ 和 $r \geq 2$，存在 $N = N(k,r)$，使得对所有 $n \geq N$ 和所有 $2 \leq l \leq r$，$H^*(\mathcal{Z}_{P_k^n})$ 中都包含非平凡的 $l$-重 Massey 乘积。