[论文解读] Topology of polyhedral products over simplicial multiwedges

Ivan Limonchenko|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 34被引用 3

一句话总结

本文通过将上同调中的高阶Massey积与单纯多楔结构联系起来，为图-阿西利亚赫德拉上的广义 момента-вращающиеся многообразия 建立了有理形式性的组合准则。证明了 момента-вращающееся многообразие $π_P^J$ 是形式的，当且仅当其对应的图 $̳$ 是线段、五边形和六边形的不相交并集，并将此类形式性多样的微分同胚类型分类为球面积的连通和或奇数维球面。

ABSTRACT

We prove that certain conditions on multigraded Betti numbers of a simplicial complex $K$ imply existence of a higher Massey product in cohomology of a moment-angle-complex $\mathcal Z_K$, which contains a unique element (a strictly defined product). Using the simplicial multiwedge construction, we find a family $\mathcal{F}$ of polyhedral products being smooth closed manifolds such that for any $l,r\geq 2$ there exists an $l$-connected manifold $M\in\mathcal F$ with a nontrivial strictly defined $r$-fold Massey product in $H^{*}(M)$. As an application to homological algebra, we determine a wide class of triangulated spheres $K$ such that a nontrivial higher Massey product of any order may exist in Koszul homology of their Stanley--Reisner rings. As an application to rational homotopy theory, we establish a combinatorial criterion for a simple graph $Γ$ to provide a (rationally) formal generalized moment-angle manifold $\mathcal Z_{P}^{J}=(D^{2j_{i}},S^{2j_{i}-1})^{\partial P^*}$, $J=(j_{1},\ldots,j_m)$ over a graph-associahedron $P=P_Γ$ and compute all the diffeomorphism types of formal moment-angle manifolds over graph-associahedra.

研究动机与目标

• 为图-阿西利亚хедра $P=P_\Gamma$ 上的广义 момента-вращающихся многообразий $π_P^J$ 确定有理形式性的组合准则。
• 对图-阿西利亚хедра上形式性 момента-вращающихся многообразий的所有微分同胚类型进行分类。
• 建立在多复形产品和斯坦利-雷снер环的上同调中存在高阶Massey积的条件。
• 将单纯复形 $K$ 的多分次Betti数与 $H^*(\mathcal{Z}_K)$ 中严格定义的高阶Massey积的存在性联系起来。
• 将单纯多楔理论扩展，以构造具有任意连通性及非平凡 $r$-重Massey积的光滑闭多面体。

提出的方法

• 使用单纯多楔构造生成一族光滑闭多面体的多复形产品。
• 对单纯复形的并操作应用单纯多楔运算，以控制所得 момента-вращающихся многообразий 的拓扑结构。
• 建立 $K$ 的多分次Betti数与 $H^*(\mathcal{Z}_K)$ 中非平凡高阶Massey积存在性之间的联系。
• 利用 $\mathcal{Z}_{P(J)}$ 微分同胚于 $\mathcal{Z}_{I^1(J)}$、$\mathcal{Z}_{P_5(J)}$ 和 $\mathcal{Z}_{P_6(J)}$ 的乘积这一事实，对多面体球面进行形式性分析。
• 利用关于多边形和多面体积上 момента-вращающихся многообразий 拓扑的已知结果，对微分同胚类型进行分类。
• 通过图论和单纯复形不变量分析顶点截断 ($\operatorname{vc}^k(P)$) 对形式性和Massey积结构的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时广义 момента-вращающегося многообразия $\mathcal{Z}_P^J$ 在图-阿西利亚хедре $P=P_\Gamma$ 上是有理形式的？
• RQ2 图-阿西利亚хедра上形式性 момента-вращающихся многообразий 的微分同胚类型是什么？
• RQ3 在单纯复形 $K$ 的何种条件下， момент-вращающегося комплекса $\mathcal{Z}_K$ 会存在非平凡的严格定义的高阶Massey积？
• RQ4 单纯多楔构造如何生成具有指定连通性及非平凡Massey积的光滑闭多面体？
• RQ5 $K_P$ 的1-骨架与 $H^*(\mathcal{Z}_P)$ 中非平凡三重Massey积的存在性之间有何关系？

主要发现

• 在图-阿西利亚хедре $P=P_\Gamma$ 上的 момент-вращающегося многообразия $\mathcal{Z}_P^J$ 是有理形式的，当且仅当 $\Gamma$ 是线段、五边形和六边形的不相交并集。
• 形式性 момент-вращающегося многообразия $\mathcal{Z}_P^J$ 的微分同胚类型是球面积或奇数维球面的连通和，具体为 $\mathcal{Z}_{I^1(J)} = S^{2|J|-1}$，$\mathcal{Z}_{P_5(J)}$ 是 $S^3 \times S^4$ 的连通和，$\mathcal{Z}_{P_6(J)}$ 是 $S^3 \times S^5$ 和 $S^4 \times S^4$ 的连通和。
• 对任意 $l, r \geq 2$，在通过单纯多楔构造的多复形产品族 $\mathcal{F}$ 中，存在一个 $l$-连通的光滑闭多面体 $M$，其 $H^*(M)$ 中存在非平凡的严格定义的 $r$-重Massey积。
• $H^*(\mathcal{Z}_P)$ 中非平凡三重Massey积的存在性仅取决于 $K_P$ 的1-骨架（图），且在顶点截断 $\operatorname{vc}^k(P)$ 下保持不变。
• 单纯多楔构造保持了单纯复形的并结构，使得 $\mathcal{Z}_{K(J)}$ 可作为较简单分量上 момент-вращающихся многообразий 的乘积构造。
• 对于图-阿西利亚хедра上的广义 момент-вращающихся многообразий，形式性、非平凡Massey积的缺失以及 $P$ 的组合类型（作为线段、五边形和六边形的积）三者等价。