[論文レビュー] Entanglement Renormalization and Holography

Brian Swingle|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|May 8, 2009

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 221

ひとこと要約

本稿では、エンタングルメント縮約を用いた量子多体系状態のホログラフィック枠組みを提案し、空間的エンタングルメント構造が上位次元の幾何構造を生み出すことを示している。量子臨界点は離散的anti-de Sitter空間を生じさせ、有限温度状態にはブラックホールに類似した対象が含まれ、相関関数は幾何学的に符号化されており、エンタングルメント縮約とホログラフィー双対性を結びつける。

ABSTRACT

I show how recent progress in real space renormalization group methods can be used to define a generalized notion of holography inspired by holographic dualities in quantum gravity. The generalization is based upon organizing information in a quantum state in terms of scale and defining a higher dimensional geometry from this structure. While states with a finite correlation length typically give simple geometries, the state at a quantum critical point gives a discrete version of anti de Sitter space. Some finite temperature quantum states include black hole-like objects. The gross features of equal time correlation functions are also reproduced in this geometric framework. The relationship between this framework and better understood versions of holography is discussed.

研究の動機と目的

• エンタングルメント縮約と量子多体系におけるホログラフィー双対性の間の関係を確立すること。
• 量子状態のエンタングルメント構造が、上位次元の幾何構造を生成できることを示すこと。
• 量子臨界点が幾何的構成において自然に離散的anti-de Sitter (AdS)空間を生じることを示すこと。
• 有限温度状態をブラックホールに類似した特徴を有する幾何的枠組みに組み込むこと。
• 発生した幾何的記述を用いて、等時相関関数の主要な特徴を再現すること。

提案手法

• スケールに沿って量子状態を粗挙げするためにエンタングルメント縮約を用い、自由度を対数スケールの区間で整理する。
• 各スケールからのエンタングルメントエントロピー寄与を、$ d\text{log}z = dz/z $に比例する測度を用いて定義し、幾何的スケーリング則を導出する。
• 多体系状態のエンタングルメント構造からスケール依存のエンタングルメントエントロピー寄与をもとに、離散的ボトム幾何を構築する。
• 1次元量子イジング模型にこの手法を適用し、高次元およびトポロジカル秩序や超伝導性などの他の相へと拡張する。
• 状態の重正化群フローから導かれる、発生した幾何におけるメトリックテンソルを導入する。
• 熱的スケールを導入することで有限温度状態をモデル化し、幾何的描写においてブラックホールに類似した事象の境界が現れる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エンタングルメント縮約は、量子多体系状態から上位次元の幾何的構造を生成できるか？
• RQ2 幾何的構成は、境界則の対数的違反といった、量子臨界性の主要特徴を再現するか？
• RQ3 有限温度状態は発生した幾何においてどのように現れ、ブラックホールに類似した振る舞いを示すか？
• RQ4 等時相関関数は、この枠組みにおいて幾何学的に符号化可能か？
• RQ5 この幾何的描写と、量子重力における既存のホログラフィー双対性との関係は何か？

主な発見

• 1次元系における量子臨界点は、ホログラフィー双対性と整合的な、離散的anti-de Sitter (AdS)空間を発生した幾何において得られる。
• この構成における有限温度状態にはブラックホールに類似した対象が含まれており、真の事象の境界とは異なる流体力学的スケールに対応する引き伸ばされた事象境界が存在する。
• 領域のエンタングルメントエントロピーは $ dS \sim \frac{L^{d_s-1}}{z^{d_s-1}} \frac{dz}{z} $ とスケーリングし、スケールにわたるエンタングルメントの幾何的記述が得られる。
• この枠組みは、発生したメトリック構造を用いて、等時相関関数の主要な特徴を成功裏に再現した。
• この構成は、イジング模型に限らず、トポロジカル秩序、フラストレーテッド磁性体、超伝導体などのさまざまな量子相に広く適用可能である。
• 幾何的記述はボトムの微分同相変換に対して不変であり、ボトムにおける重力的自由度との深い関係を示唆している。