[論文レビュー] Coarse-grained dynamics of operator and state entanglement

Cheryne Jonay, David A. Huse+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2018

Quantum many-body systems参考文献 20被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、混合的量子多体系におけるエンタングルメントダイナミクスの粗視化流体理論を構築し、時空における「表面張力」を表すモデル依存関数 𝒟(𝐯) によって、演算子および状態のエンタングルメント成長が支配されることを示している。スピン系の時間発展演算子のエンタングルメントを用いて数値抽出した結果、拡散する演算子は同程度の空間的広がりを持つ通常の演算子よりも顕著にエンタングルメントが小さいことが判明し、これは演算子エンタングルメントにおける構造的抑制を示しており、ピラミッド型のエンタングルメントプロファイルとして定量的に表現される。

ABSTRACT

We give a detailed theory for the leading coarse-grained dynamics of entanglement entropy of states and of operators in generic short-range interacting quantum many-body systems. This includes operators spreading under Heisenberg time evolution, which we find are much less entangled than "typical" operators of the same spatial support. Extending previous conjectures based on random circuit dynamics, we provide evidence that the leading-order entanglement dynamics of a given chaotic system are determined by a function $\mathcal{E}(v)$, which is model-dependent, but which we argue satisfies certain general constraints. In a minimal membrane picture, $\mathcal{E}(v)$ is the "surface tension" of the membrane and is a function of the membrane's orientation $v$ in spacetime. For one-dimensional (1D) systems this surface tension is related by a Legendre transformation to an entanglement entropy growth rate $Γ(\partial S/\partial x)$ which depends on the spatial "gradient" of the entanglement entropy $S(x,t)$ across the cut at position $x$. We show how to extract the entanglement growth functions numerically in 1D at infinite temperature using the concept of the operator entanglement of the time evolution operator, and we discuss possible universality of $\mathcal{E}$ at low temperatures. Our theoretical ideas are tested against and informed by numerical results for a quantum-chaotic 1D spin Hamiltonian. These results are relevant to the broad class of chaotic many-particle systems or field theories with spatially local interactions, both in 1D and above.

研究の動機と目的

• 一般の短距離相互作用を有する量子系におけるエンタングルメントエントロピー動的変化の粗視化流体記述を構築すること。
• 同じ空間的スケールを持つ通常の演算子と比較して、拡散する演算子がなぜよりエンタングルメントが小さいのかを理解すること。
• エンタングルメント生成レートを支配するモデル固有関数 𝒟(𝐯) を特定・抽出すること。この関数は時空的「表面張力」と解釈される。
• 1次元スピン鎖系に縦方向および横方向の磁場を加えた量子カオス系を用いて、理論を数値的に検証すること。
• 低温におけるエンタングルメントダイナミクスの普遍性および保存則の役割を調査すること。

提案手法

• エンタングルメントを時空膜のエネルギーに写像する粗視化膜モデルを導入し、方向 𝐯 に依存する表面張力関数 𝒟(𝐯) によって支配される。
• ラプラス変換を用いて、エンタングルメント生成レート Γ(∂S/∂x) を表面張力関数 𝒟(𝐯) と関連づけ、エンタングルメントエントロピーの空間勾配とダイナミクスを結びつける。
• 1次元系における無限温度下で、時間発展演算子 U(t) の演算子エンタングルメントを定義・計算し、数値的に 𝒟eff(v) を抽出する。
• パウリ重み W(L,t) 及びその時間微分を用いて、演算子フロントが系の境界に達する到達時刻 t_arrival を定義し、バタフライ速度 v_B を抽出する。
• エンタングルメントプロファイルおよび演算子拡散の有限サイズスケーリングを実施し、s_spread および v_B を推定する。熱力学的極限への収束を確認する。
• H = ∑Z_i Z_{i+1} + h∑Z_i + g∑X_i で記述される量子カオス的イジング鎖系の数値シミュレーションと理論を比較し、L=8 から 14 の範囲で検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合的量子系におけるエンタングルメントエントロピーの粗視化ダイナミクスは、カット面におけるエンタングルメントの空間勾配にどのように依存するか？
• RQ2 なぜ混合的系における拡散する演算子は、同じ空間的サポートを持つ通常の演算子よりもエンタングルメントが小さいのか？
• RQ3 表面張力関数 𝒟(𝐯) の関数的形は何か？また、どのような一般的制約を満たしているか？
• RQ4 時間発展演算子のエンタングルメントから、エンタングルメント成長レートおよびバタフライ速度を抽出できるか？
• RQ5 関数 𝒟(𝐯) は、特に低温において、さまざまなカオス的系にわたって普遍的といえるか？

主な発見

• 1次元系における拡散する演算子のエンタングルメントプロファイル S(x,t) はピラミッド型の形状を示し、エンタングルメント成長の局所的フロントが存在することを示している。
• 拡散する演算子は、同程度の空間的広がりを持つ通常の演算子と比較して顕著にエンタングルメントが小さく、最大可能な値に対して抑制されていることが判明した。
• 時間発展演算子 U(t) から抽出した有効表面張力 𝒟eff(v) は、有限サイズ効果を示しており、遅い時間では L/t の速度で減衰する。L=12 の場合、t=6 まで信頼できるデータが得られる。
• t_arrival と系サイズ L の関係をフィッティングすることで、バタフライ速度 v_B ≃ 1.82 が推定された。到達時刻は ∂W(L,t)/∂t のピークとして定義された。
• エンタングルメント拡散速度 s_spread は、L=8 から 14 の外挿から、L→∞ の極限で 0.9–1.0 の範囲に収束することが示された。
• 理論は最小膜作用に基づくエンタングルメントダイナミクスの理解のためのフレームワークを提供しており、𝒟(𝐯) は系固有のダイナミクスと一般的制約を符号化している。