[论文解读] Entropy-bounded solutions to the compressible Navier-Stokes equations: with far field vacuum

Jinkai Li, Zhouping Xin|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 26被引用 6

一句话总结

该论文在仅远场存在真空的条件下，建立了具有限熵的一维全压缩可压缩N-S方程强解的局部与全局存在性及唯一性。证明了若初始密度在空间无穷远处衰减足够缓慢，则熵保持一致有界，从而将正则性传播结果推广至非齐次Sobolev空间，即使在远场存在真空的情况下亦成立。

ABSTRACT

The entropy is one of the fundamental states of a fluid and, in the viscous case, the equation that it satisfies is highly singular in the region close to the vacuum. In spite of its importance in the gas dynamics, the mathematical analyses on the behavior of the entropy near the vacuum region, were rarely carried out; in particular, in the presence of vacuum, either at the far field or at some isolated interior points, it was unknown if the entropy remains its boundedness. The results obtained in this paper indicate that the ideal gases retain their uniform boundedness of the entropy, locally or globally in time, if the vacuum occurs at the far field only and the density decays slowly enough at the far field. Precisely, we consider the Cauchy problem to the one-dimensional full compressible Navier-Stokes equations without heat conduction, and establish the local and global existence and uniqueness of entropy-bounded solutions, in the presence of vacuum at the far field only. It is also shown that, different from the case that with compactly supported initial density, the compressible Navier-Stokes equations, with slowly decaying initial density, can propagate the regularities in the inhomogeneous Sobolev spaces.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的公开问题：在粘性可压缩流体中，真空区域附近熵是否保持有界。
• 分析当密度在空间无穷远处缓慢衰减时，真空存在下熵的行为。
• 为一维全可压缩N-S方程建立具有限熵的强解的存在性与唯一性。
• 研究当初始密度具有非紧支集且衰减缓慢时，正则性如何在非齐次Sobolev空间中传播。
• 将强解理论扩展至非紧支集初始数据，特别是在远场存在真空的情况下。

提出的方法

• 建立一维全可压缩N-S方程（无热传导）的柯西问题。
• 利用从Gibbs关系与傅里叶定律导出的熵方程，追踪熵的演化，特别是在真空附近。
• 在非齐次Sobolev空间中使用涉及初始密度的权函数进行加权能量估计，以控制奇异性。
• 通过能量估计与Gronwall型不等式，建立熵及其导数的先验界。
• 基于局部存在性与一致有界性，采用延拓论证将解全局延拓至时间无穷。
• 利用熵有界性进行Bootstrap论证，实现非齐次Sobolev范数中正则性的传播。

实验结果

研究问题

• RQ1 当真空仅出现在远场时，可压缩N-S方程的解中熵是否能保持一致有界？
• RQ2 初始密度衰减速率需满足何种条件，才能确保熵随时间保持有界？
• RQ3 远场真空的存在是否会阻止非齐次Sobolev空间中正则性的传播？
• RQ4 熵方程的结构如何影响解在真空附近的长时间行为？
• RQ5 在缓慢密度衰减条件下，能否为全可压缩N-S系统构造具有限熵的全局强解？

主要发现

• 若初始密度在空间无穷远处衰减足够缓慢，则即使远场存在真空，熵在时间上也保持一致有界。
• 在上述条件下，一维全可压缩N-S方程的具有限熵强解实现了全局存在性与唯一性。
• 即使初始密度具有非紧支集且衰减缓慢，解仍能在非齐次Sobolev空间中传播正则性。
• 熵的有界性源于熵方程与初始密度缓慢衰减之间的相互作用，从而防止熵梯度的爆破。
• 通过涉及初始密度的加权范数建立的先验估计，确保了解的正则性，并可全局延拓至时间无穷。
• 证明依赖于延拓论证：熵及其导数的一致有界性使得解可超越任意有限时间被延拓，从而与有限时间爆破假设相矛盾。