[论文解读] Entropy of $C^1$ diffeomorphisms without a dominated splitting

Jérôme Buzzi, Sylvain Crovisier+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 26被引用 6

一句话总结

该论文证明，在无主导分解的 $C^1$ 微分同胚中，可通过周期轨道的 $C^1$-扰动构造马蹄集，使其拓扑熵逼近由 Ruelle 不等式给出的上界——即正 Lyapunov 指数之和。这种熵的最优生成导致了关键结论：在保测度情形下，拓扑熵是连续的但非局部常数，且不存在最大熵测度；在耗散情形下，通常存在无穷多个熵远离零的同宿类共存。

ABSTRACT

A classical construction due to Newhouse creates horseshoes from hyperbolic periodic orbits with large period and weak domination through local $C^1$-perturbations. Our main theorem shows that, when one works in the $C^1$ topology, the entropy of such horseshoes can be made arbitrarily close to an upper bound deriving from Ruelle's inequality, i.e., the sum of the positive Lyapunov exponents (or the same for the inverse diffeomorphism, whichever is smaller). Adapting classical techniques, we use perturbations that are local and can be chosen to preserve volume or symplectic form or a homoclinic connection. This optimal entropy creation yields a number of consequences for $C^1$-generic diffeomorphisms, especially in the absence of a dominated splitting. For instance, in the conservative settings, we find formulas for the topological entropy, deduce that the topological entropy is continuous but not locally constant at the generic diffeomorphism and we prove that these generic diffeomorphisms have no measure of maximum entropy. In the dissipative setting, we show the locally generic existence of infinitely many homoclinic classes with entropy bounded away from zero.

研究动机与目标

• 理解无主导分解的 $C^1$ 微分同胚中熵生成机制。
• 确定在无主导分解条件下，拓扑熵在通常 $C^1$ 微分同胚中是否可连续或局部常数。
• 研究最大熵测度的存在性与结构，以及熵在同宿类中的定位。
• 将 Newhouse 的马蹄构造方法推广至高维及保测系统，并实现熵的最优性。

提出的方法

• 采用 Newhouse 的马蹄构造方法的强化版本，通过周期轨道的 $C^1$-扰动从同宿纵横处构造马蹄集。
• 应用 Franks 引理及线性丛的扰动技术，控制 Lyapunov 指数并保持双曲性。
• 使用 Baire 一类论证，证明通常微分同胚可构造出逼近高熵遍历测度的马蹄集。
• 以 Ruelle 不等式作为熵的上界，并构造出熵逼近该上界的马蹄集。
• 应用 Katok 的逼近定理，实现支撑在马蹄集上且接近给定遍历测度的测度。
• 利用扰动后马蹄集的估计，分析同宿类的 Hausdorff 维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 $C^1$-扰动使无主导分解的 $C^1$ 微分同胚的拓扑熵任意逼近 Ruelle 上界？
• RQ2 当无主导分解时，拓扑熵在通常 $C^1$ 微分同胚中是否连续？
• RQ3 通常无主导分解的 $C^1$ 微分同胚是否具有最大熵测度？
• RQ4 在耗散情形下，是否存在通常共存的无穷多个熵远离零的同宿类？
• RQ5 当无主导分解时，周期点的稳定/不稳定维数与同宿类的 Hausdorff 维数之间有何关系？

主要发现

• 无主导分解的 $C^1$ 通常微分同胚的拓扑熵是连续的但非局部常数。
• 无主导分解的通常 $C^1$ 微分同胚不具有最大熵测度。
• 在保测度情形下，拓扑熵在 Borel 同胚意义下完全由周期轨道决定。
• 在耗散情形下，存在 $C^1$-通常微分同胚，其包含无穷多个同宿类，每个同宿类的熵均远离零。
• 对于无主导分解的 $C^1$-通常微分同胚，同宿类的 Hausdorff 维数可超过周期点的不稳定维数。
• 可构造出熵任意逼近 Ruelle 上界（即正 Lyapunov 指数之和）的马蹄集。