[论文解读] Equivalent Moser type inequalities in R2 and the zero mass case

Daniele Cassani, Federica Sani+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 29被引用 6

一句话总结

本文建立了 $\mathbb{R}^2$ 中临界型 Moser 不等式（即 Ruf 不等式）与 Adachi-Tanaka 不等式改进的次临界版本之间的等价性，证明了二者均可达到且为最优。进一步地，本文在极限空间 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^2)$ 中导出了一个最优的 Lorentz-Zygmund 不等式，给出了显式的极值函数，并统一了无界域中的经典 Trudinger-Moser 不等式。

ABSTRACT

We first investigate concentration and vanishing phenomena concerning Moser type inequalities in the whole plane which involve complete and reduced Sobolev norms. In particular we show that the critical Ruf inequality is equivalent to an improved version of the subcritical Adachi-Tanaka inequality which we prove to be attained. Then, we consider the limiting space $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^2)$, completion of smooth compactly supported functions with respect to the Dirichlet norm $\| abla\cdot\|_2$, and we prove an optimal Lorentz-Zygmund type inequality with explicit extremals and from which can be derived classical inequalities in $H^1(\mathbb{R}^2)$ such as the Adachi-Tanaka inequality and a version of Ruf's inequality.

研究动机与目标

• 通过分析集中、消失和缺乏紧致性现象，阐明 $\mathbb{R}^2$ 中 Trudinger-Moser 不等式的临界性质。
• 证明子临界 Adachi-Tanaka 不等式可被改进，并与 Ruf 的临界不等式等价。
• 在齐次空间 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^2)$ 中建立一个最优的 Lorentz-Zygmund 型不等式，并给出显式的极值函数。
• 通过极限空间 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^2)$ 统一经典不等式（如 Adachi-Tanaka 和 Ruf 的不等式）。

提出的方法

• 分析 $\mathbb{R}^2$ 中涉及 $L^2$ 范数与 Dirichlet 范数的 Moser 型不等式的集中与消失现象。
• 利用 [35] 中的尺度不变性与紧致性论证，表明极值函数避免集中与消失。
• 通过将泛函限制在 $L^2$-范数与 Dirichlet 范数有界的函数上，导出 Adachi-Tanaka 不等式的改进版本。
• 应用尺度性质 $J_\beta(u) = \tau J_\beta(u_\tau)$，关联不同范数下的不等式，证明其等价性。
• 通过修改的指数函数 $\phi_p(t) = \sum_{j \geq p/2} \frac{t^j}{j!}$，在 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^2) \cap L^p(\mathbb{R}^2)$ 中构造极限不等式。
• 通过证明上确界有限且可被达到，确立改进后不等式的最优性与可达性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Ruf 的临界型 Moser 不等式在 $\mathbb{R}^2$ 中是否与 Adachi-Tanaka 不等式的改进次临界版本等价？
• RQ2 当 $L^2$-范数有界时，Adachi-Tanaka 框架下临界阈值 $\beta = 4\pi$ 是否可被实现？
• RQ3 在极限空间 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^2)$ 中，最优的 Trudinger-Moser 型不等式是什么？它是否允许显式极值函数？
• RQ4 对称性以及缺乏紧致性（集中、消失）如何影响这些不等式的可达性？
• RQ5 能否在 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^2)$ 框架下统一 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 中的经典不等式？

主要发现

• 当 $\delta \in [0,1)$ 时，Adachi-Tanaka 不等式被改进，并在 $\beta < 4\pi(1 - \delta)^{-2}$ 条件下与 Ruf 的临界不等式等价。
• 改进后的不等式 (1.5) 对所有 $\beta < 4\pi(1 - \delta)^{-2}$ 可达，其上确界有限，且由避免集中与消失的极值函数实现。
• 在 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^2)$ 中导出了一个最优的 Lorentz-Zygmund 不等式，其最优常数 $C(\beta, \delta, K)$ 显式有界，且构造了极值函数。
• 临界情形 $\beta = 4\pi$ 被证明是 Adachi-Tanaka 框架中上确界趋于无穷的临界阈值，确认了其临界性质。
• 通过尺度与紧致性论证，建立了改进后的 Adachi-Tanaka 不等式与 Ruf 不等式的等价性，表明二者均为最优且可达到。
• 在 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^2) \cap L^p(\mathbb{R}^2)$ 中，不等式 $\int_{\mathbb{R}^2} \phi_p(4\pi u^2) \, dx \leq C_p \|u\|_p^p$ 对所有 $p \geq 1$ 成立，将已知结果推广至极限空间。