[论文解读] Equivariant characteristic forms in the Cartan model and Borel equivariant cohomology

Andreas Kübel, Thom, Andreas|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文通过Cartan模型与Borel等变上同调，建立了紧致李群上微分几何与拓扑构造的等变特征类之间的等价性。证明了通过曲率与矩映射的Chern-Weil构造所得到的类，与Borel构造所得到的类一致，推广了先前的结果，并使该理论可扩展至非紧致情形。

ABSTRACT

We show the compatibility of the differential geometric and the topological construction of equivariant characteristic classes for compact Lie groups. Our analysis motivates a differential geometric construction for equivariant characteristic classes in the non-compact case. This compatibility is generally assumed and used in various cases, but there is only a proof for compact connected Lie groups in the literature, see the work of Raoul Bott and Loring Tu. Our proof applies and generalizes ideas of Johan Dupont and Ezra Getzler.

研究动机与目标

• 建立微分几何与拓扑构造的等变特征类之间的严格、自包含比较。
• 将已知的关于紧致连通李群的兼容性结果推广至一般紧致李群。
• 通过阐明基于曲率与基于分类空间的途径之间的联系，为等变微分上同调奠定基础。
• 提供新的、广义的证明，超越现有文献，特别是适用于非紧致群作用的情形。

提出的方法

• 使用等变德拉姆上同调的Cartan模型，将等变特征类表示为闭的等变微分形式。
• 应用Borel构造，将主丛关联到道路等价空间 $ M_G = EG \times_G M $ 上，从而在 $ H^*_G(M) $ 中得到一个拓扑特征类。
• 通过李代数 $ K $ 上的不变对称多项式，应用普遍Chern-Weil构造，对等变曲率形式 $ R^\nabla + \mu^\nabla $ 进行求值。
• 利用Dupont的单纯形形式与Getzler的化解，构造单纯形德拉姆复形与Cartan模型之间的拟同构。
• 通过显式微分形式与双单纯形流形上的联络，建立Cartan模型与单纯形德拉姆复形之间的典范同构。
• 证明了通过无穷小作用定义的矩映射 $ \mu^\nabla $ 确保了Cartan模型中特征形式的等变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于紧致李群，通过Cartan模型的微分几何构造是否与通过Borel构造的拓扑构造一致？
• RQ2 Chern-Weil构造与Borel构造之间的兼容性是否可推广至非连通紧致李群？
• RQ3 在Cartan模型中，如何将矩映射与曲率结合以定义良定义的等变特征形式？
• RQ4 单纯形德拉姆复形与拟同构在联系几何与拓扑方法中起到何种作用？
• RQ5 这些方法是否可适应于非紧致情形？需要哪些结构性改变？

主要发现

• 本文证明了通过Cartan模型中曲率与矩映射的Chern-Weil构造所得到的等变特征类，与通过Borel上同调中Borel构造所得到的类完全一致。
• 该兼容性对所有紧致李群成立，不仅限于连通群，推广了Bott与Tu仅针对连通群的结果。
• 证明了矩映射 $ \mu^\nabla $ 满足 $ \mu^\nabla(X) = \nabla_{X^\sharp_M} + L^E_X $，将无穷小作用与相关向量丛上的联络联系起来。
• 两个连接之间的转递形式 $ \widetilde{\omega}(\nabla, \nabla') $ 与Cartan模型中的对应形式一致，确保了形变下的一致性。
• 证明依赖于通过Dupont的单纯形形式与Getzler的化解构造的单纯形德拉姆复形与Cartan模型之间的拟同构，从而实现了显式计算。
• 作者提供了新的、自包含的阐述，推广了现有方法，并为等变微分上同调的系统性发展铺平了道路。