[论文解读] Equivariant Matrix Factorizations and Hamiltonian reduction

Sergey Arkhipov, Tina Kanstrup|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 5

一句话总结

该论文建立了在导出纤维 $\mu^{-1}(0)$ 上的 $G$-等变凝聚层的导出范畴与在 $T^*X \times \mathfrak{g}$ 上以 $W = \mu$ 为势函数的 $G$-等变矩阵因子化的导出范畴之间的等价性，其中 $\mu: T^*X \to \mathfrak{g}^*$ 是时刻映射。该结果为 $D^b(\operatorname{Coh}^{L_{\text{top}}(B)}(L_{\text{top}}(X)))$ 提供了一个具体且非无穷范畴化的模型，通过矩阵因子化将导出循环空间与哈密顿约化联系起来。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth scheme with an action of an algebraic group $G$. We establish an equivalence of two categories related to the corresponding moment map $μ: T^*X o Lie(G)^*$ - the derived category of G-equivariant coherent sheaves on the derived fiber $μ^{-1}(0)$ and the derived category of $G$-equivariant matrix factorizations on $T^*X imes Lie(G)$ with potential given by $μ$.

研究动机与目标

• 为导出循环空间 $L_{\text{top}}(X)$ 上的 $L_{\text{top}}(B)$-等变凝聚层的导出范畴构建一个直观的模型。
• 通过时刻映射和矩阵因子化，将该范畴与哈密顿约化联系起来。
• 利用等变矩阵因子化，为 $D^b(\operatorname{Coh}^{L_{\text{top}}(B)}(L_{\text{top}}(X)))$ 提供一个非无穷范畴化的实现。
• 通过将一般线性代数群嵌入到半单群中，将该等价性推广至任意线性代数群。

提出的方法

• 使用霍赫希尔德-科斯塔nt-罗森伯格定理，将 $\mathcal{O}_{L_{\text{top}}(X)}}$ 识别为微分形式的 DG-代数 $\Omega_X$。
• 应用科兹乌尔对偶性，将 $\Omega_X$-模与编码 $L_{\text{top}}(B)$-等变性的 $\Lambda(\mathfrak{b}) \otimes \mathcal{O}_{T^*X}$-模联系起来。
• 将导出纤维 $\mu^{-1}(0)$ 构造为一个带有时刻映射微分的 $G$-等变 DG-代数 $\Lambda(\mathfrak{g}) \otimes \mathcal{O}_{T^*X}$。
• 将势函数 $W: T^*X \times \mathfrak{g} \to \mathbb{C}$ 定义为复合映射 $\mu \times \text{id} \circ \langle \cdot, \cdot \rangle$，以编码时刻映射的配对。
• 通过将线性代数群 $H$ 嵌入半单群 $G$，将一般情形约化为半单情形。
• 通过导出麦克凯对应和导出商 $\mu^{-1}(0)/G$ 的结构建立等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 导出循环空间 $L_{\text{top}}(X)$ 上的 $L_{\text{top}}(B)$-等变凝聚层的导出范畴能否在不使用无穷范畴工具的情况下实现？
• RQ2 时刻映射 $\mu: T^*X \to \mathfrak{g}^*$ 如何与等变矩阵因子化的结构相关联？
• RQ3 在 $\mu^{-1}(0)$ 上的 $G$-等变凝聚层与在 $T^*X \times \mathfrak{g}$ 上的 $G$-等变矩阵因子化之间是否存在明确的等价关系？
• RQ4 该等价性能否从半单群推广到任意线性代数群？

主要发现

• 存在一个在 $D^b(\operatorname{Coh}^G(\mu^{-1}(0)))$ 与 $\operatorname{DMF}_G(T^*X \times \mathfrak{g}, W)$ 之间的拟等价，其中 $W$ 是时刻映射的配对。
• 导出纤维 $\mu^{-1}(0)$ 被实现为一个带有科兹乌尔型微分的 $G$-等变 DG-代数 $\Lambda(\mathfrak{g}) \otimes \mathcal{O}_{T^*X}$。
• 当 $G$ 在 $X$ 上自由作用时，哈密顿约化 $\mu^{-1}(0)/G$ 同构于 $T^*(X/G)$，此时等价关系变为 $\operatorname{DMF}_{\mathbb{C}^*}((T^*X \times \mathfrak{g})/G, \bar{W}) \simeq D^b(\operatorname{Coh}(T^*(X/G)))$。
• 通过将 $H$ 嵌入半单群 $G$，该等价性可推广至任意线性代数群 $H$，得到 $\operatorname{DMF}_{\mathbb{C}^*}(E^\vee/H, \bar{W}) \simeq D^b(\operatorname{Coh}^H(Y))$。
• 当 $X = G$，$H = B$ 时，弹簧展开 $\tilde{\mathcal{N}} \simeq T^*(G/B)$ 被恢复，且有 $\operatorname{DMF}_{\mathbb{C}^*}((T^*G \times \mathfrak{b})/B, \bar{W}) \simeq D^b(\operatorname{Coh}^G(\tilde{\mathcal{N}}))$。