[论文解读] Every NAND formula of size N can be evaluated in time N^{1/2+o(1)} on a quantum computer

Andrew M. Childs, Ben W. Reichardt+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用 23

一句话总结

本文提出了一种量子算法，通过基于公式导出的树结构上的 coined 量子行走，以 $N^{1/2+o(1)}$ 时间评估任意大小为 $N$ 的 NAND 公式。该算法在平衡或近似平衡的公式下实现了最优查询复杂度 $O(\bar{N})$，几乎解决了关于量子查询复杂度的平方是否下界为公式大小的开放问题。

ABSTRACT

For every NAND formula of size N, there is a bounded-error N^{1/2+o(1)}-time quantum algorithm, based on a coined quantum walk, that evaluates this formula on a black-box input. Balanced, or ``approximately balanced,'' NAND formulas can be evaluated in O(sqrt{N}) queries, which is optimal. It follows that the (2-o(1))-th power of the quantum query complexity is a lower bound on the formula size, almost solving in the positive an open problem posed by Laplante, Lee and Szegedy.

研究动机与目标

• 开发一种在量子计算机上以相对于 $N$ 的次线性时间评估任意大小为 $N$ 的 NAND 公式的量子算法。
• 解决 Laplante、Lee 和 Szegedy 提出的开放问题：量子查询复杂度的平方是否下界为公式大小。
• 将基于量子行走的评估方法从平衡二叉树推广到具有结构不平衡性的任意 NAND 公式。
• 在高效预处理和有界误差下，实现 $N^{1/2+o(1)}$ 的时间复杂度。
• 证明评估公式的量子查询复杂度至少为 $Q_2(f)^{2-o(1)}$，几乎证明了所 conjectured 的下界。

提出的方法

• 该算法在 NAND 公式的树表示上使用 coined 量子行走，其中顶点对应于门，叶子对应于输入变量。
• 通过在评估为 1 的叶子处引入概率吸收点，并根据公式的不平衡性在内部节点处调整硬币翻转的偏置，对经典随机行走进行修改。
• 利用 Grover 扩散算子在量子位寄存器上构造量子行走酉算符 $U$，实现在树结构上的相干演化。
• 对行走的酉算符应用相位估计算法，以估计初始态的能量，从而区分公式输出为 0 和 1 的情况。
• 该方法依赖于与 Farhi 等人工作中类似的哈密顿量的谱分析，通过将加权非对称树转换为对称树，将其适配到加权非对称树上。
• 预处理包括使用 Solovay-Kitaev 定理计算近似的硬币扩散算子，并以经典描述形式存储，以便在算法执行期间实现相干访问。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个大小为 $N$ 的 NAND 公式都可以在量子计算机上以 $N^{1/2+o(1)}$ 时间评估？
• RQ2 如 Laplante、Lee 和 Szegedy 所猜想，量子查询复杂度的平方是否为公式大小的近乎紧致下界？
• RQ3 该量子行走方法能否推广到非对称 NAND 公式，同时保持次二次查询复杂度？
• RQ4 该算法是否对平衡或近似平衡的公式实现了最优查询复杂度 $O(\bar{N})$？
• RQ5 预处理阶段能否针对结构化输入优化至 $N^{1/2+o(1)}$ 时间内完成？

主要发现

• 每个大小为 $N$ 的 NAND 公式都可以在量子计算机上以 $N^{1/2+o(1)}$ 时间和查询次数内评估，误差小于 $1/3$。
• 对于平衡或近似平衡的 NAND 公式，该算法实现了 $O(\bar{N})$ 的查询次数，这是最优的，与量子查询复杂度下界一致。
• 任何函数 $f$ 的公式大小至少为 $Q_2(f)^{2-o(1)}$，几乎解决了关于量子查询复杂度平方是否下界为公式大小的开放问题。
• 该算法使用带有相位估计算法的 coined 量子行走，其行走的谱特性在公式输出为 0 和 1 之间保持常数间隙，从而实现区分。
• 由于使用 Solovay-Kitaev 定理高效预处理门近似，时间复杂度比查询次数仅多出对数多项式因子。
• 对于最不平衡的公式，通过引理 10 重新平衡后，深度减少至 $O(\log N)$，大小减少至 $O(N \log N)$，从而实现 $O(\sqrt{N})$ 查询评估。