[论文解读] Exact completions and small sheaves

Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用 25

一句话总结

本文通过定义 $κ$-ary sites 和 $κ$-ary exact categories，提出了一种类范畴论中精确完备化的统一框架，证明了 $κ$-ary exact completion 构成 $κ$-ary sites 的一个反射子 2-范畴。关键结果是一个普遍性质，涵盖了经典构造如预拓扑完备化、层化以及小预层范畴，使用广义的 sites 同态与通过可表示广义关系（representable profunctors）和 anafunctors 的两种对偶构造。

ABSTRACT

We prove a general theorem which includes most notions of "exact completion". The theorem is that "k-ary exact categories" are a reflective sub-2-category of "k-ary sites", for any regular cardinal k. A k-ary exact category is an exact category with disjoint and universal k-small coproducts, and a k-ary site is a site whose covering sieves are generated by k-small families and which satisfies a weak size condition. For different values of k, this includes the exact completions of a regular category or a category with (weak) finite limits; the pretopos completion of a coherent category; and the category of sheaves on a small site. For a large site with k the size of the universe, it gives a well-behaved "category of small sheaves". Along the way, we define a slightly generalized notion of "morphism of sites", and show that k-ary sites are equivalent to a type of "enhanced allegory".

研究动机与目标

• 将多样化的精确完备化构造——如预拓扑完备化、层化与小预层范畴——统一于单一范畴论框架之下。
• 将 sites 同态的概念推广，以包含稠密包含与非子可表拓扑，从而扩大其适用范围。
• 确立对于任意正则基数 $κ$，$κ$-ary exact categories 是 $κ$-ary sites 的反射子 2-范畴，为精确完备化提供普遍性质。
• 证明 $κ$-ary exact completion 可通过两种对偶方式构造：一种基于可表示广义关系（representable profunctors），另一种基于 anafunctors，分别对应于 2-范畴结构的不同去范畴化。
• 证明当 $κ$ 为宇宙大小时，大 sites 上平凡拓扑的 $κ$-ary exact completion 自然地给出该 site 上的小层范畴。

提出的方法

• 引入 $κ$-ary site 的概念：具有由 $κ$-小族生成的覆盖筛，且相对于 $κ$ 满足有限极限的弱解集条件的 sites。
• 将 $κ$-ary exact category 定义为具有普遍有效等价关系与离散、普遍的 $κ$-小并集的范畴。
• 将 sites 同态的定义推广，使其包含相对于目标拓扑平坦的函子，而不仅限于可表示平坦的函子，以涵盖稠密子 sites 包含。
• 通过两种等价方法构造 $κ$-ary site 的 $κ$-ary exact completion：一种使用可表示广义关系（类比于关系），另一种使用 anafunctors（类比于部分函子）。
• 在 $κ$-ary sites 与一类增强的双分量范畴（enhanced allegories）之间建立 2-范畴等价，从而通过双分量范畴推理实现精确完备化的构造。
• 利用精确完备化的普遍性质，证明从 site 的 $κ$-ary exact completion 到其他范畴的同态，对应于覆盖平坦函子，推广了关于平坦函子与层化作用的经典结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将精确完备化构造——如预拓扑完备化、层化与小预层范畴——统一于单一范畴论框架之下？
• RQ2 为包含稠密包含与非子可表拓扑，需对 sites 同态概念进行何种推广，同时保持精确完备化的普遍性质？
• RQ3 通过可表示广义关系与 anafunctors 构造的精确完备化之间有何关系？它们在范畴论中分别代表什么？
• RQ4 对于 $κ$-ary site 的 $κ$-ary exact completion，其精确的普遍性质是什么？它如何推广已知的普遍性质？
• RQ5 在何种条件下，大 site 的 $κ$-ary exact completion 会给出一个行为良好的小层范畴？

主要发现

• $κ$-ary exact completion 构成 $κ$-ary sites 的 2-范畴的反射子 2-范畴，推广了精确完备化的普遍性质。
• 当 $κ = \omega$ 时，相干范畴的 $κ$-ary exact completion 即为其预拓扑完备化，恢复了经典结果。
• 当 $κ = \KA$（宇宙大小）时，具有平凡拓扑的大 site 的 $κ$-ary exact completion 即为其上小层范畴。
• $κ$-ary exact completion 可通过两种对偶方式构造：一种基于可表示广义关系（类比于关系），另一种基于 anafunctors（类比于部分函子），两种方法结果等价。
• 从一个小 site 到另一个小 site 的函子是覆盖平坦的，当且仅当其左 Kan 扩张与层化复合后保持有限极限，推广了 Johnstone 《Elephant 的 Sketches》中的结果。
• 将一个范畴嵌入其 $κ$-ary family 范畴是稠密的，且原范畴的 $κ$-ary exact completion 同构于其 family 范畴的单子精确完备化。