[论文解读] Exceptional and modern intervals of the Tamari lattice

Baptiste Rognerud|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2018

Language, Linguistics, Cultural Analysis参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文通过区间偏序集引入并表征了塔马里格拉德中的两类新区间族：例外区间，其对应于戴姆布里茨操作代数中非交叉树的像，且与非交叉划分构成双射；以及现代/无限现代区间，后者通过Fuss-Catalan数的三角分解与三元树构成双射。

ABSTRACT

In this article we use the theory of interval-posets recently introduced by Ch{â}tel and Pons in order to describe some interesting families of intervals in the Tamari lattices. These families are defined as interval-posets avoiding specific configurations. At first, we consider what we call exceptional interval-posets and show that they correspond to the intervals which are obtained as images of noncrossing trees in the Dendriform operad. We also show that the exceptional intervals are exactly the intervals of the Tamari lattice induced by intervals in the poset of noncrossing partitions. In the second part we introduce the notion of modern and infinitely modern interval-posets. We show that the modern intervals are in bijection with the new intervals of the Tamari lattice in the sense of Chapoton. We deduce an intrinsic characterization of the new intervals in the Tamari lattice. Finally, we consider the family of what we call infinitely modern intervals and we we prove that there are as many infinitely modern interval-posets of size n as there are ternary trees with n inner vertices.

研究动机与目标

• 使用避免特定构型的区间偏序集表征塔马里格拉德中的例外区间。
• 建立例外区间与非交叉划分之间的联系，表明其作为非交叉划分偏序集中区间的像而出现。
• 定义并研究现代与无限现代区间偏序集，作为表征塔马里格拉德中新区间的手段。
• 通过区间偏序集上的上升操作，对塔马里格拉德中新区间的内在表征进行研究。
• 证明大小为 $n$ 的无限现代区间偏序集的数量等于具有 $n$ 个内顶点的三元树的数量。

提出的方法

• 使用由Châtel和Pons引入的区间偏序集这一组合模型，描述塔马里格拉德中的区间。
• 引入区间偏序集上的“上升”操作，该操作使大小增加1，并将递增关系整体右移1位，同时满足保持区间偏序集结构的条件。
• 将现代区间偏序集定义为那些其上升操作仍产生有效区间偏序集的类型。
• 将无限现代区间偏序集定义为所有连续上升操作均保持为有效区间偏序集的类型。
• 在区间偏序集上使用双重统计量，以恢复Fuss-Catalan数 $\frac{1}{2n+1}\binom{3n}{n}$ 的三角分解。
• 通过映射 $f_{i,k}$ 的双射与递归分解，将大小为 $n$ 的区间偏序集与大小为 $n+1$ 的区间偏序集建立联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些特征刻画了塔马里格拉德中作为戴姆布里茨操作代数中非交叉树像的区间？
• RQ2 如何通过区间偏序集内在地表征塔马里格拉德中的新区间？
• RQ3 对重复上升操作封闭的区间偏序集具有何种组合意义？
• RQ4 是否存在无限现代区间偏序集与三元树之间的双射？
• RQ5 例外区间与非交叉划分偏序集之间有何关系？

主要发现

• 塔马里格拉德中的例外区间与非交叉树之间构成双射，且与非交叉划分偏序集中的区间也构成双射。
• 塔马里格拉德中大小为 $n$ 的例外区间的数量为 $\frac{1}{2n+1}\binom{3n}{n}$。
• 现代区间偏序集恰好是那些其上升操作仍产生有效区间偏序集的类型，且塔马里格拉德中的新区间恰好是现代区间偏序集的上升结果。
• 塔马里格拉德中大小为 $n$ 的新区间数量为 $3 \cdot \frac{2^{n-2}(2n-2)!}{(n-1)!(n+1)!}$。
• 大小为 $n$ 的无限现代区间偏序集与具有 $n$ 个内顶点的三元树构成双射，其数量为 $\frac{1}{2n+1}\binom{3n}{n}$。
• 无限现代区间偏序集族满足一个递推关系，该关系与Aval（2008）提出的Fuss-Catalan数的三角分解一致。