[论文解读] Existence and multiplicity results for the fractional Schrodinger-Poisson systems

Zhang Jin-guo|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文建立了非线性项不满足 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的分数阶薛定谔-泊松系统的无穷多组高能解的存在性。通过在奇非线性与弱增长条件下应用 fountain 定理，证明了 Cerami 序列的有界性，并在 $H^s(\mathbb{R}^3) \times D^t(\mathbb{R}^3)$ 中获得无穷多组解，其作用泛函值趋于无穷。

ABSTRACT

This paper is devoted to study the existence and multiplicity solutions for the nonlinear Schrödinger-Poisson systems involving fractional Laplacian operator: \begin{equation}\label{eq*} \left\{ \aligned &(-Δ)^{s} u+V(x)u+ ϕu=f(x,u), \quad & ext{in }\mathbb{R}^3, &(-Δ)^{t} ϕ=u^2, \quad & ext{in }\mathbb{R}^3, \endaligned ight. \end{equation} where $(-Δ)^α$ stands for the fractional Laplacian of order $α\in (0\,,\,1)$. Under certain assumptions on $V$ and $f$, we obtain infinitely many high energy solutions for \eqref{eq*} without assuming the Ambrosetti-Rabinowitz condition by using the fountain theorem.

研究动机与目标

• 建立具有非恒定势和非线性项不满足 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的分数阶薛定谔-泊松系统存在无穷多组高能解。
• 将经典薛定谔-泊松系统的结果推广至分数阶拉普拉斯情形，其中 $s,t \in (0,1)$。
• 通过引入替代假设 $(f_3)$ 和 $(f_4)$，克服在标准 (AR) 条件不成立时验证 Cerami 序列有界性的挑战。
• 通过在非自治、非奇对称情形下使用对非线性项 $f(x,u)$ 的更弱条件，推广 fountain 定理方法。

提出的方法

• 在变分框架下，利用强不定泛函的 fountain 定理寻找无穷多组临界点。
• 施加条件 $(f_3)$：当 $|u|$ 较大时，有 $uf(x,u) - 4F(x,u) \geq 0$，以确保 Cerami 序列的有界性。
• 采用条件 $(f_4)$：对所有 $\theta \geq 1$ 和 $\tau \in [0,1]$，有 $\theta \mathcal{F}(x,u) \geq \mathcal{F}(x,\tau u)$，以控制增长并保证紧致性。
• 通过能量估计与有限维子空间上的范数等价性，建立 Cerami 序列的有界性。
• 利用 $f(x,u)$ 的奇性与能量泛函的偶性，在对称设定下应用 fountain 定理。
• 使用分数阶索伯列夫嵌入及对 Riesz 位势 $\phi_u^t$ 的估计，以控制非线性耦合项 $\int \phi_u^t u^2\,dx$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不假设 Ambrosetti-Rabinowitz 条件下，能否为分数阶薛定谔-泊松系统建立无穷多组高能解？
• RQ2 当非线性项 $f(x,u)$ 为奇函数但 $F(x,u)$ 不非负时，fountain 定理是否仍适用？
• RQ3 在弱于 (AR) 条件的假设下，能否确保 Cerami 序列的有界性，特别是当 $F(x,u)$ 可能变号时？
• RQ4 在分数阶设定下，$f(x,u)$ 和 $V(x)$ 需要满足何种增长与对称性条件，才能保证存在无穷多组解？

主要发现

• 在条件 $(V)$、$(f_1)$--$(f_3)$ 和 $(f_5)$ 下，系统在 $H^s(\mathbb{R}^3) \times D^t(\mathbb{R}^3)$ 中存在无穷多组高能解 $\{(u_k, \phi_{u_k}^t)\}$。
• 当 $k \to \infty$ 时，作用泛函 $I(u_k) \to +\infty$，证实这些解的能量持续升高。
• 在条件 $(f_3)$ 下，Cerami 序列 $\{u_n\}$ 在空间 $E = H^s(\mathbb{R}^3)$ 中有界，从而保证了 fountain 定理的有效性。
• 证明依赖于有限维子空间上范数的等价性，以及当 $k \to \infty$ 时 $\beta_k = \sup_{\|u\|_E=1, u \in Z_k} \|u\|_{L^p}$ 的衰减性。
• 为使嵌入 $H^s(\mathbb{R}^3) \hookrightarrow L^4(\mathbb{R}^3)$ 成立，需满足条件 $4s + 2t \geq 3$，以确保非线性项定义良好。
• 该结果推广了先前工作，无需假设 $F(x,u) \geq 0$ 和 (AR) 条件，仍可通过 fountain 定理获得无穷多组解。