[论文解读] Explicit Quaternionic Contact Structures and Metrics with Special Holonomy

Luis Carlos de Andrés, Marisa Fernández+4 more|ArXiv.org|Mar 8, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 48被引用 5

一句话总结

本文在具有零与非零挠率的李群上构造了显式的左不变四元数接触结构，证明了存在不局部 qc-共形微分同构于四元数球面的四元数接触流形。本文提出了八维流形上新的完整四元数凯勒与Spin(7)-全纯度度量，包括非紧致例子，其基本四形式闭合但并非四元数凯勒，从而扩展了特殊全纯度与qc几何中的已知几何结构。

ABSTRACT

We construct explicit left invariant quaternionic contact structures on Lie groups with zero and non-zero torsion, and with non-vanishing quaternionic contact conformal curvature tensor, thus showing the existence of quaternionic contact manifolds not locally quaternionic contact conformal to the quaternionic sphere. We present a left invariant quaternionic contact structure on a seven dimensional non-nilpotent Lie group, and show that this structure is locally quaternionic contact conformal to the flat quaternionic contact structure on the quaternionic Heisenberg group. On the product of a seven dimensional Lie group, equipped with a quaternionic contact structure, with the real line we determine explicit complete quaternionic Kaehhler metrics and $Spin(7)$-holonomy metrics which seem to be new. We give explicit complete non-compact eight dimensional almost quaternion hermitian manifolds with closed fundamental four form which are not quaternionic Kähler.

研究动机与目标

• 在具有零与非零挠率的李群上构造显式的左不变四元数接触(qc)结构。
• 证明存在不局部qc-共形微分同构于四元数球面的qc流形，挑战先前假设。
• 通过乘积构造法，在八维流形上显式构造新的完整四元数凯勒与Spin(7)-全纯度度量。
• 展示显式非紧致八维几乎四元数赫尔米特流形，其基本四形式闭合但并非四元数凯勒。
• 提供曲率与全纯度的显式公式，以度量函数表示，验证里奇平坦性与完整的Spin(7)全纯度。

提出的方法

• 在七维非幂零李群与四元数海森堡群上构造左不变qc结构。
• 使用Biquard联络定义挠率与曲率，并计算qc-共形曲率张量，以评估局部qc-共形平坦性。
• 对实直线应用乘积构造，从七维流形上的qc结构生成八维流形上的完整度量。
• 推导出具有闭合基本四形式的显式黎曼度量，并通过曲率2-形式验证里奇平坦性。
• 评估曲率2-形式Ω^i_j，并证明其独立形式至少有16个，从而确认全Holonomy群为Spin(7)。
• 使用特定度量试探函数g(u) = √[(a - u^{5/3})/(20 u^{2/3})]计算曲率分量，并验证里奇曲率为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在挠率非零且qc-共形曲率不平坦的李群上构造显式的左不变四元数接触结构？
• RQ2 是否存在不局部qc-共形微分同构于四元数球面或平坦四元数海森堡群的四元数接触流形？
• RQ3 能否从七维李群上的qc结构显式构造新的完整四元数凯勒度量？
• RQ4 是否存在八维几乎四元数赫尔米特流形，其基本四形式闭合但并非四元数凯勒？
• RQ5 度量函数g(u)需满足何种条件，才能使构造出的度量具有里奇平坦性与完整的Spin(7)全holonomy？

主要发现

• 本文在七维非幂零李群上构造了一个左不变qc结构，其挠率非零且qc-共形曲率非零，证明其不局部qc-共形微分同构于四元数球面。
• 通过七维qc流形与R的乘积，显式构造了一个八维流形上的新完整四元数凯勒度量，其基于零挠率qc平坦结构。
• 本文提出了八维流形上新的完整Spin(7)-全holonomy度量，其来源于四元数海森堡群与七维李群上零挠率qc平坦结构。
• 显式计算了曲率2-形式，并证明其独立形式数量至少为16个，从而确认全holonomy群等于Spin(7)。
• 通过直接计算曲率2-形式与对偶基，验证了里奇曲率为零，即对所有i,j有Ric(X_i, X_j) = 0。
• 该度量为里奇平坦且具有完整的Spin(7)全holonomy，由曲率形式的独立性及曲率表达式中非零系数所证实。